호모토피

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2차원 공간 상에서 호모토피(구체적으로는 경로 호모토피)의 예.

호모토피(homotopy) 또는 연속변형함수(連續變形函數)는 어떤 위상공간공역으로 하는 특정한 연속함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상공간 상에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한 경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.

정의[편집]

위상공간 X와 Y와 실수 상의 단위구간 [0, 1] = I이 주어져 있다. X에서 Y로 가는 적당한 연속함수 f와 g가 다음 성질을 만족한다면,

  • 적당한 연속함수 H:X×I → Y이 주어져서 임의의 x∈X에 대해 H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x).

f는 g에 대해 호모토픽(homotopic) 또는 연속변형적(連續變形的)이라 하고, 연속함수 H는 f와 g 사이의 호모토피(a homotopy between f and g)라 한다. f가 g에 대해 호모토픽일 때 기호로 f \simeq g 와 같이 쓴다. 만약 f \simeq g 이고 g가 상수함수일 경우, f를 널호모토픽(null-homotopic) 또는 영연속변형적(零連續變形的)이라 하며, 이때의 호모토피를 널호모토피(null-homotopy) 또는 영연속변형함수(零連續變形函數)라 한다.[1]

점을 고정한 호모토피[편집]

많은 경우 호모토피를 구성할 때 일부 점을 '고정'할 필요가 생긴다. 즉, X'⊆X에 대하여 호모토피의 정의에 다음 추가 조건을 만족하는 경우,

  • 모든 x∈X'와 t∈I에 대하여, H(x, t) = f(x) = g(x).

f는 g에 대해 'X'의 각 점을 고정하여 호모토픽(homotopic relative to X')'이라 하고, 이 경우 H를 'X'에서 고정된 호모토피(homotopy relative to X')'라 한다. f가 g에 대해 X'의 각 점을 고정한 호모토픽일 경우 기호로는 f \simeq g \ \mathrm{rel} X' 라 쓴다.[2]

경로 호모토피[편집]

특히, 점을 고정한 호모토피의 특수한 경우로 X = I(보통위상공간부분공간)이고 호모토피의 정의에 다음 추가 조건을 만족할 경우,

  • 적당한 x0, x1 ∈ Y와 임의의 t∈I에 대해 H(0, t) = x0, H(1, t) = x1.

f는 g에 대해 경로 호모토픽(path homotopic) 또는 경로 연속변형적(經路-)라 하고, H를 경로 호모토피(path homotopy) 또는 경로 연속변형함수(經路-)라 한다. f가 g에 대해 경로 호모토픽일 때 기호로 f \simeq_p g 와 같이 쓴다.[1]

기본 성질[편집]

  • 관계 \simeq\simeq_p 등은 항상 동치관계이다.[2]
  • 적당한 위상공간 Y에 대해 만약 a \simeq_p a', b \simeq_p b' 이고 a(1) = b(0)이면 a*b \simeq_p a'*b'이다.[3]

축약가능공간[편집]

만일 항등함수 IX:X→X가 널호모토픽이라면 X를 축약가능공간(contractible space)이라 한다. 단위구간 [0, 1]이나 실수 집합 등이 축약가능공간인데, 일반적으로 축약가능공간은 항상 길연결공간이며, 단일연결공간이다.[4]

이 정의는 다음과 동치이다.[5]

  • X가 축약가능공간일 필요충분조건은 X가 한 점으로 이루어진 위상공간 {c}와 같은 호모토피 유형을 가지는 것이다.

또한 축약가능공간은 길연결공간이지만 모든 길연결공간이 축약가능인 것은 아니다. 중요한 반례로 2차원 구, S2가 있다.[6] 그러나 2차원 구는 단일연결공간이다. 또, 2차원 구에서 한 점을 뺀 곡면은 축약가능공간이다.

호모토피류[편집]

  • 위상공간 X, Y에 대해 X에서 Y로 가는 연속함수들을 모두 모은 집합이 있다고 하자. 여기서 어떤 함수 f의 호모토피류(homotopy class) [f]는 [f] := {x|f \simeq x}을 말한다. \simeq는 동치관계이므로 X에서 Y로 가는 연속함수들의 집합은 호모토피류들로 분할된다. 이 집합을 일반적으로 [X, Y]라 쓴다. 만약 호모토피가 X'에서 고정된 호모토피일 경우 [X, Y]_{X'} 라 쓴다.[2]
  • 호모토피류의 정의와 동일한 방법으로, 경로 호모토피류(path homotopy class)를 정의할 수 있다.

호모토피 유형[편집]

위상공간 X, Y에 대해 f:X→Y, g:Y→X인 연속함수 X, Y가 있다 하자. 만약 f \circ g \simeq I_Y, g \circ f \simeq I_X 이면, f와 g를 통틀어 호모토피 동치쌍(homotopy equivalences), 각각은 상대방에 대해 호모토피 역원(homotopy inverse)이라 한다. 또, 호모토피 동치쌍이 존재하는 경우 두 공간 X, Y는 호모토피 동치(homotopy equivalent)라 하는데, 호모토피 동치 관계는 동치관계가 된다. 호모토피 동치인 두 위상공간은 같은 호모토피 유형(homotopy type)을 갖는다고 한다.[7]

아이소토피[편집]

커피잔과 도넛 사이의 아이소토피.

위상동형사상 f와 g 사이의 호모토피 H가 주어졌다고 하자. 다음 조건이 충족될 경우,

  • 임의의 고정된 t∈[0, 1]에 대하여 함수 Ht:X→Y가 Ht(x) := H(x, t)이고, Ht가 위상동형사상이다.

H를 f와 g 사이의 아이소토피(isotopy)라 한다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, p. 323.
  2. 곽진호, 이재운, 《조합적 곡면위상론》, 경문사, 2007, 158-159쪽.
  3. *는 경로곱이다. 즉, a*b는 [0, 1/2]에서 a(2t), [1/2, 1]에서 b(2t-1)로 정의되는 새로운 경로이다.
  4. Munkres 2000, p. 330.
  5. 곽진호, 이재운, 앞의 책, 166쪽.
  6. 곽진호, 이재운, 앞의 책, 168쪽.
  7. Munkres 2000, p. 363.

참고 문헌[편집]

  • James R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.
  • 곽진호, 이재운, 《조합적 곡면위상론》, 경문사, 2007.
  • Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2006.