호모토피

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위상수학에서, 호모토피(영어: homotopy) 또는 연속 변형 함수(連續變形函數)는 어떤 위상 공간공역으로 하는 특정한 연속 함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상 공간 위에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한 경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.

정의[편집]

두 경로 f,g\colon[0,1]\to Y 사이의 호모토피 F. 이는 양끝점을 고정시키지 않으므로 경로 호모토피가 아니다.

위상 공간 X, Y 사이의 두 연속 함수

f\colon X\to Y
g\colon X\to Y

사이의 호모토피는 다음과 같은 성질을 만족시키는 연속 함수 H\colon X\times[0,1]\to Y이다.

  • f=H(-,0)
  • g=H(-,1)

두 연속 함수 사이에 호모토피가 존재할 경우, 두 함수가 서로 호모토픽(영어: homotopic) 또는 연속 변형적(連續變形的)이라 하며 f\simeq g와 같이 쓴다. 호모토픽 관계는 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류호모토피류(영어: homotopy class)라고 한다.[1]:158–159 연속 함수 f의 호모토피류는 보통 [f]라고 쓴다.

구 위의 대원은 널호모토픽하다.

상수 함수에 호모토픽한 함수를 널호모토픽(null-homotopic) 또는 영연속 변형적(零連續變形的)이라고 한다. 상수 함수로의 호모토피를 널호모토피(null-homotopy) 또는 영연속 변형 함수(零連續變形函數)라 한다.[2]:323

  • 위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로 가는 연속함수들을 모두 모은 집합이 있다고 하자. 여기서 어떤 함수 f의

부분 공간을 고정한 호모토피[편집]

경로 호모토피의 예

위상 공간 X, YX의 부분 공간 X'이 주어졌을 때, 두 연속 함수 f,g\colon X\to Y 사이의 호모토피 H\colon X\times[0,1]\to Y가 다음 조건을 만족시킨다면, HX'에서 고정된 호모토피(영어: homotopy relative to X')라고 한다.[1]:158–159

  • 임의의 (x',t)\in X'\times[0,1]에 대하여, H(x',t)=f(x')=g(x')

fgX'을 고정하여 호모토픽하다는 것은 기호로 다음과 같이 적는다.

f \simeq g\;\operatorname{rel} X'

부분 공간을 고정한 호모토피 역시 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류 역시 정의할 수 있다.

이 정의의 특수한 경우로, 위상 공간 Y 위의 경로 f,g\colon[0,1]\to Y에 대하여, \{0,1\}\subset[0,1]을 고정한 호모토피를 경로 호모토피(영어: path homotopy)라고 한다. 경로 호모토픽 관계는 보통 \simeq_{\text{p}}로 쓴다.[2]:323

호모토피 유형[편집]

알파벳 A, B, C를 "굵은 글꼴"로 써 평면의 2차원 부분 공간으로 나타낼 수 있으며 (보라색), "가는 글꼴"로 써 평면의 1차원 부분 공간으로 나타낼 수 있다 (붉은색). 이 경우, "굵은 글꼴"로 쓴 글자는 "가는 글꼴"로 쓴 글자와 위상동형이지 않지만, 이들은 서로 호모토피 동치이다.

위상 공간 X, Y 사이에 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 f,g\colon X\to Y가 존재한다면, XY가 서로 호모토피 동치(영어: homotopy-equivalent)라고 한다.[2]:363

  • f\circ g\simeq\operatorname{id}_Y
  • g\circ f\simeq\operatorname{id}_Y

이는 위상 공간의 동치 관계를 이룬다. 호모토피 동치에 대한 동치류를 호모토피 유형(영어: homotopy type)이라고 한다. 서로 위상동형인 두 위상 공간은 서로 호모토피 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

위상 공간 X, Y 사이에 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 f\colon X\to Y가 존재한다면, XY가 서로 약하게 호모토피 동치(영어: weakly homotopy-equivalent)라고 한다.

약한 호모토피 동치는 반사관계이자 추이관계이지만, 대칭관계가 아니므로 동치 관계가 아니다. 약한 호모토피 동치로부터 생성되는 동치 관계에 대한 동치류를 약한 호모토피 유형(영어: weak homotopy type)이라고 한다. 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간 사이에는 항상 약한 호모토피 동치가 존재하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

화이트헤드 정리(영어: Whitehead theorem)에 따르면, 연결 세포 복합체 사이에는 호모토피 동치와 약한 호모토피 동치가 서로 같다. 즉, 두 세포 복합체 사이에 약한 호모토피 동치가 존재한다면, 이들 사이에는 호모토피 동치가 존재한다.

아이소토피[편집]

커피잔의 표면과 원환면은 둘 다 3차원 유클리드 공간으로 매장할 수 있으며, 이 두 매장 사이에는 그림과 같이 아이소토피가 존재한다.

두 위상 공간 X, Y 사이의 두 매장 f,g\colon X\to Y 사이의 호모토피 H\colon X\times[0,1]\to Y가 다음 조건을 만족시킬 경우, H아이소토피(영어: isotopy)라고 한다.

  • 모든 t\in[0,1]에 대하여, H(-,t)\colon X\to Y매장이다.

참고 문헌[편집]

  1. 곽진호, 이재운, 《조합적 곡면위상론》, 경문사, 2007
  2. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]