대각 사상

범주론에서 대각 사상(對角寫像, 영어: diagonal morphism)은 어떤 대상에서 그 거듭제곱으로 가는 표준적인 사상이다. 마찬가지로, 어떤 대상의 거듭쌍대곱에서 원래 대상으로 가는 쌍대 대각 사상(雙對對角寫像, 영어: codiagonal morphism)이 존재한다.

정의

기수 $\kappa$ 및 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 대상 $X$ 와 가 주어졌다고 하자. 만약 $\kappa$ 개의 $X$ 들의 곱 $X^{\times \kappa }$ 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 $\operatorname {id} _{X}$ 로부터 유도되는 사상

\operatorname {diag} _{X}\colon X\to X^{\times \kappa }

이 존재한다. 이를 대각 사상이라고 한다. 만약 $\kappa =1$ 일 경우 이는 항등 사상 $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$ 이며, 만약 $\kappa =0$ 일 경우 이는 끝 대상 $1\cong X^{\times 1}$ 으로 가는 유일한 사상 $X\to 1$ 이다.

마찬가지로, 만약 $\kappa$ 개의 $X$ 들의 쌍대곱 $X^{\sqcup \kappa }$ 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 $\operatorname {id} _{X}$ 로부터 유도되는 사상

\operatorname {diag} _{X}\colon X^{\sqcup \kappa }\to X

이 존재한다. 이를 쌍대 대각 사상(영어: codiagonal morphism)이라고 한다. 만약 $\kappa =1$ 일 경우 이는 항등 사상 $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$ 이며, 만약 $\kappa =0$ 일 경우 이는 시작 대상 $0\cong X^{\sqcup 1}$ 에서 $X$ 로 가는 유일한 사상 $0\to X$ 이다.

예

집합의 범주

집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합 $X$ 과 기수 $\kappa$ 가 주어졌을 때, 곱집합 $X^{\times \kappa }$ 으로 가는 대각 함수는 다음과 같다.

\operatorname {diag} _{X}^{\kappa }\colon X\to X^{\times \kappa }

\operatorname {diag} _{X}^{\kappa }\colon x\mapsto (\overbrace {x,x,\dots ,x} ^{\kappa })\in X^{\times \kappa }

대각 사상의 치역을 대각 부분 집합(영어: diagonal subset)이라고 한다.

$\kappa =2$ 이며, $X$ 가 유한 집합이며, $X$ 에 임의의 전순서를 주면 $X\times X$ 의 원소는 변의 길이가 $|X|$ 인 정사각 행렬의 한 성분으로 생각할 수 있다. 이 경우, 대각 사상은 모든 원소를 정사각 행렬의 (왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는) 대각선 위의 성분에 대응시키며, "대각 사상"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.

{\begin{pmatrix}\bullet \\-\\\vdots \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\bullet &-&\cdots \\-&-&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}-\\\bullet \\\vdots \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-&-&\cdots \\-&\bullet &\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}

\vdots

작은 범주의 범주

작은 범주와 함자의 범주 $\operatorname {Cat}$ 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 작은 범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 대각 함자

\operatorname {diag} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}

는 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.

\operatorname {diag} _{\mathcal {C}}\colon X\mapsto (X,X)\in {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}

\operatorname {diag} _{\mathcal {C}}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f\times f\colon (X,X)\to (Y,Y)\right)

조각 범주

범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 대상 $A$ 위의 조각 범주 ${\mathcal {C}}/A$ 를 생각하자. 조각 범주의 대상 $f\colon X\to A$ 의 대각 사상 $\operatorname {diag} _{f}$ 은 (만약 존재한다면) ${\mathcal {C}}$ 에서 다음과 같다.

{\begin{matrix}X&{\overset {\operatorname {diag} _{f}}{\to }}&X\times _{A}X&{\overset {\operatorname {proj} _{1}}{\to }}&X\\&&{\scriptstyle \operatorname {proj} _{1}2}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\&&X&{\underset {f}{\to }}&A\end{matrix}}

즉, 이는 당김 $X\times _{A}X$ 에 대한 대각 사상 $X\to X\times _{A}X$ 을 이룬다.

위상 공간의 범주

위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 에서, 대각 사상 $\operatorname {diag} _{X}\colon X\to X\times X$ 은 집합으로서의 대각 함수와 같으며, 대각 사상은 항상 그 상으로의 위상 동형을 정의한다.

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

하우스도르프 공간이다.
대각 사상 $X\to X\times X$ 의 상이 닫힌집합이다.

스킴의 범주

스킴의 범주에서, 당김에 대한 대각 사상 $X\to X\times _{Y}X$ 는 다음과 같이 다양한 정의·정리들에 등장한다.

스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $X\to X\times _{Y}X$ 는 항상 스킴 몰입이다. 즉, 어떤 열린 몰입 $\iota _{o}\colon Z\to X\times _{Y}X$ 및 닫힌 몰입 $\iota _{c}\colon X\to Z$ 의 합성이다.
스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $X\to X\times _{Y}X$ 가 준콤팩트 함수라면 $f$ 를 준분리 사상이라고 한다.
스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $X\to X\times _{Y}X$ 가 닫힌 몰입이라면 $f$ 를 분리 사상이라고 한다.^[1]^:96 이는 대각 사상의 상이 닫힌집합인 것과 동치이다.^[1]^{:96, Corollary II.4.2}
국소 유한 표시 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $f\colon X\to X\times _{Y}X$ 가 열린 몰입이라면 $f$ 를 비분기 사상이라고 한다.^[2]^{:65, Corollaire IV.17.4.2(c)}
스킴 사상 $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 보편 단사 사상(영어: universally injective morphism)이라고 한다.
- 임의의 스킴 사상 $Y'\to Y$ 에 대하여, 밑 변환 $X\times _{Y}Y'\to Y'$ 이 단사 함수이다.
- 대각 사상 $X\to X\times _{Y}X$ 가 전사 함수이다.