대수기하학에서 매끄러운 스킴(영어: smooth scheme)은 국소적으로 아핀 공간과 같이 보이는 체 위의 스킴이며, 매끄러운 사상(-寫像, 영어: smooth morphism)은 각 올이 매끄러운 스킴을 이루는 스킴 사상이다.
비분기 사상(非分岐寫像, 영어: unramified morphism)은 분기화가 일어나지 않는 스킴 사상이며, 미분기하학의 몰입에 해당한다. (대수기하학의 열린 몰입과 닫힌 몰입은 이름과 달리 미분기하학의 매장에 해당한다.) 에탈 사상(étale寫像, 영어: étale morphism)은 스킴 사이의 국소 동형 사상이다. 즉, 미분기하학의 국소 미분동형사상이나, 위상수학의 국소 위상동형사상에 대응되는 개념이다.
형식적으로 매끄러운 사상/형식적으로 비분기 사상/형식적으로 에탈 사상은 특정 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 스킴 사상이다. 형식적으로 매끄러운/비분기/에탈 사상 조건에 국소 유한 표시 조건을 추가한다면 매끄러운 사상/비분기 사상/에탈 사상 개념을 얻는다.
형식적으로 매끄러운 · 비분기 · 에탈 사상[편집]
임의의 가환환
및 멱영 아이디얼
에 대하여, 그 몫 준동형
![{\displaystyle (/{\mathfrak {n}})\colon R\to R/{\mathfrak {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85cd7aa85f16799f2e3baa0715ff8c406cc3251)
에 대응하는 아핀 스킴 사상
![{\displaystyle (/{\mathfrak {n}})^{*}\colon \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})\to \operatorname {Spec} R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2375a586a2a28370bd368294b023865ca6920a0c)
을 생각할 수 있으며, 이는 항상 닫힌 몰입이다. 직관적으로,
이 멱영 아이디얼이므로
는
을 "무한소"만큼 "연장"시킨 것이다. 즉, 이러한 닫힌 몰입은 닫힌집합의 "무한히 작은 근방"으로의 포함 사상으로 해석할 수 있다.
스킴 사상
에 대하여,
- 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 올림 성질이 성립한다면,
를 형식적으로 매끄러운 사상(영어: formally smooth morphism, 프랑스어: morphisme formellement lisse)이라고 한다.[1]:56, Définition IV.17.1.1 즉,
가 전사 함수이다.
- 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 모든 오른쪽 올림이 (만약 존재한다면) 유일하다면,
를 형식적으로 비분기 사상(영어: formally unramified morphism, 프랑스어: morphisme formellement non ramifié)이라고 한다.[1]:56, Définition IV.17.1.1 즉,
가 단사 함수이다.
- 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질이 성립한다면,
를 형식적으로 에탈 사상(영어: formally étale morphism, 프랑스어: morphisme formellement étale)이라고 한다.[1]:56, Définition IV.17.1.1 즉,
가 전단사 함수이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})&\to &X\\\downarrow &{\scriptstyle \exists }\nearrow &\downarrow \\\operatorname {Spec} R&\to &S\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec80535cde80cf4e1b9e992603d1a39b569b1430)
이 조건들은 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다.
- 형식적으로 매끄럽다는 것은 사상
를 그 무한소 근방
로 무한소만큼 확장할 때, "특이점"에 걸려 확장이 불가능한 경우가 없다는 것이다.
- 형식적으로 비분기라는 것은 사상
를 그 무한소 근방
로 무한소만큼 확장할 때, "분기점" 때문에 두 개 이상의 가능한 확장이 존재하는 경우가 없다는 것이다.
- 형식적으로 에탈이라는 것은 형식적으로 매끄러우며 비분기인 것과 같으므로, "특이점"과 "분기점"이 없어 그 무한소 근방으로의 확장이 항상 유일한 것이다.
매끄러운 사상[편집]
국소 유한 표시 사상
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 매끄러운 사상(영어: smooth morphism, 프랑스어: morphisme lisse)이라고 한다.
는 형식적으로 매끄러운 사상이다.[1]:61, Définition IV.17.3.1
는 평탄 사상이며, 모든
및
에 대하여 올
은 국소환의 잉여류체
위의 매끄러운 스킴이다.[1]:67, Théorème IV.17.5.1
는 평탄 사상이며, 모든
및
에 대하여 올
에 대하여 그 완비화
는 정칙 스킴이다.[2]:269–270, Theorem III.10.2
는 평탄 사상이며, 켈러 미분층
는 국소 자유 가군층이며, 그 차원은
의 상대 차원과 같다.
- 모든
에 대하여,
가 되는 열린 근방
및 자연수
및 사상
가 존재한다. (
는 아핀 공간의 표준적 사상이다.)
- 임의의
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방
및
가 존재한다.
- 가환환 준동형
은 어떤 표준 매끄러운 대수와 동형이다.
가환환
가 주어졌을 때, 그 위의 유한 표시 대수
![{\displaystyle {\frac {S[x_{1},\dots ,x_{n}]}{(f_{1},\dots ,f_{k})}}\qquad (n,k\in \mathbb {N} ,\;k\leq n,\;f_{1},\dots ,f_{k}\in R[x_{1},\dots ,x_{n}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c90b9caf843541d45f7ce1324aad167be084535)
가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 표준 매끄러운 대수(영어: standard smooth algebra)라고 한다.
- 다항식
은
속의 가역원이다.
비분기 사상[편집]
국소 유한 표시 사상
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 비분기 사상(영어: ramified morphism, 프랑스어: morphisme non ramifié)이라고 한다.[1]:65, Corollaire IV.17.4.2(c)
는 형식적으로 비분기 사상이다.[1]:62, Définition IV.17.3.7
이다. 여기서
는 켈러 미분층이며,
은 영가군의 상수층이다.
- 대각 사상
은 열린 몰입이다.
스킴 사상
가
에서 비분기이다는 것은
의 어떤 열린 근방
에 대하여
가 비분기 사상이라는 것이다.
에탈 사상[편집]
국소 유한 표시 사상
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 에탈 사상(영어: étale morphism, 프랑스어: morphisme étale)이라고 한다.
는 형식적으로 에탈 사상이다.[1]:62, Définition IV.17.3.7
는 평탄 사상이며 비분기 사상이다.
는 매끄러운 사상이며 비분기 사상이다.
는 매끄러운 사상이며 상대 차원(영어: relative dimension)이 0이다.
- 모든 점
에서, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방
및
및 가 존재한다.
- 준동형
는 어떤 표준 에탈 대수와 동형이다.
위 정의에서, 가환환
위의 표준 에탈 대수(영어: standard étale algebra)는 다음과 같은 꼴의 단위 결합 가환 대수이다.
![{\displaystyle \left(S[x]/(f)\right)_{g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b2dbf8a0865841dc69f6f1012c74d466059d9a)
여기서
는 일계수 다항식이며,
는 임의의 다항식이다.
의 도함수
는
에서 가역원이다. 여기서
는 국소화이고,
는
로 생성되는 아이디얼이다.
스킴 사상
가
에서 에탈이다는 것은
의 어떤 열린 근방
에 대하여
가 에탈 사상이라는 것이다.
함의 관계[편집]
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
- 축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴
즉, 임의의 체
에 대하여 모든 매끄러운
-스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체
위의
-스킴
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 매끄러운 사상이다.
- 정칙 스킴이며,
는 국소 유한형 사상이다.
가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 · 형식적으로 매끄러운 사상 · 형식적으로 비분기 사상 · 형식적으로 에탈 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
- (합성에 대한 닫힘)
에 대하여, 만약
와
가
-사상이라면
역시
-사상이다.
- (밑 변환에 대하여 안정)
에 대하여, 만약
가
-사상이라면 밑 변환
역시
-사상이다.
가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
- (fpqc 위상에서의 내림)
에 대하여, 만약 밑 변환
가
-사상이며,
가 fpqc 사상이라면
역시
-사상이다.
여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.
매끄러움의 실패[편집]
대수적으로 닫힌 체
가 주어졌을 때,
-대수의 포함 준동형
![{\displaystyle f\colon K[a]\hookrightarrow K[x,y,a]/(xy-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec37df7d90babf677c7fb792e42192377d689112)
을 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상
![{\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,y,a]/(xy-a)\twoheadrightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb06f9b357634cfb033baa65df4ca7ece9b20d4c)
을 정의하며, 이는 기하학적으로 아핀 평면 원뿔 곡선들의 족을 정의한다. 이는 유한형 사상이며 평탄 사상이지만, 매끄러운 사상이 아니다. 구체적으로,
-대수
의 멱영 아이디얼
를 생각하자. 이 경우,
![{\displaystyle g\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^{2},a)\cong K[z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fdbc915c73256034a80cf49bc60214205277e2e)
![{\displaystyle g\colon x\mapsto z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c363b5d5a26e1b609c92cd46f269049f00ffb3e)
![{\displaystyle g\colon y\mapsto 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a0896a441736d119f8bf68827d56ffc100ef69)
는
-대수의 준동형을 이룬다. 하지만, 임의의
-대수의 준동형
![{\displaystyle h\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd0bac27733a52d669797839ca0a74ef53833eb1)
에 대하여,
![{\displaystyle q\colon K[z,a]/(a^{2})\twoheadrightarrow K[z]/(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc247c86eb0ac107595ec487fdfe274da562179)
와 합성하였을 때
가 될 수 없다. 기하학적으로, 이는
일 때의 올
은 특이올을 이루기 때문이다.
더 단순한 예로,
를 생각하자. 이 경우,
-대수의 준동형
![{\displaystyle g\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c84a9f57f8e9575863e0b78ddcacd2bae018147)
![{\displaystyle g\colon x\mapsto z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c363b5d5a26e1b609c92cd46f269049f00ffb3e)
![{\displaystyle g\colon y\mapsto z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa417550d3b6c1386319ee9cd334de84303c9102)
이 존재한다. 그러나 몫 준동형
![{\displaystyle q\colon K[z]/(z^{3})\twoheadrightarrow K[x]/(z^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae60f21d110773788a910d16eba45e12bb122fd)
에 대하여,
가 되는 준동형
![{\displaystyle h\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c887215c834129e4bb15ce392dd92aaa5268465a)
은 존재할 수 없다. 따라서 아핀 대수 곡선
는 원점에서 특이점을 가져 매끄러운 곡선이 아니다.
비분기성의 실패[편집]
표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체
위에,
![{\displaystyle f\colon K[x]\hookrightarrow K[x,y]/(y^{2}-x)\cong K[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f63d24d892c94804ab97b19a545aa1d2accc0e)
를 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}\twoheadrightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c26f68b6e1770be3616a11b5fce1f1d54cd7a92)
을 정의한다. 이는 유한형 사상이지만, 비분기 사상이 아니다. 구체적으로,
의 멱영 아이디얼
을 생각하자. 그렇다면,
-대수의 준동형
![{\displaystyle g_{\pm }\colon K[x,y]/(x^{2},y^{2}-x)\to K[x]/(x^{2},z^{2}-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22815bf744ac878c7d5b7ea8a388b99c8d619c9a)
![{\displaystyle g_{\pm }\colon y\mapsto \pm z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158a1dea04747b5e82c4dfcce2c6d312b34a74cb)
을 정의할 수 있다. 이는 몫
![{\displaystyle q\colon K[x,z]/(x^{2},z^{2}-x)\twoheadrightarrow K[x,z]/(x^{2},z^{2}-x,z)\cong K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb98443d2b34ab67963ae82ca947d5ed8042c26)
과 합성하면
![{\displaystyle q\circ g_{\pm }\colon K[x,y]/(x^{2},y^{2}-x)\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8b96c2a8a68f3a07ebdc73e5393ab7d5619b95)
![{\displaystyle q\circ g_{\pm }\colon x,y\mapsto 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f642945abec0792b1811f0f9860e9dc2feea8f4b)
이 되므로, 서로 같아진다. 즉, 기하학적으로, 원점
을 그 무한소 근방
으로 연장하는 방법이 유일하지 않으므로, 비분기 사상이 될 수 없다.
체 위의 에탈 스킴[편집]
체
위의 스킴
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[3][4]
는 비분기 사상이다.
는 에탈 사상이다.
이며,
는 유한 분해 가능 확대이다.
체
위의 에탈 스킴들의 범주는 절대 갈루아 군
의 작용을 갖춘 집합들의 범주
와 동치이다.[5] 구체적으로, 에탈 스킴
에 대응하는 집합은 다음과 같다.
![{\displaystyle X\mapsto \hom _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} K}(\operatorname {Spec} K^{\operatorname {sep} },X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5394c108edae0e3061beeb82f9f1ea2a5f5116)
여기서
은
의 분해 가능 폐포이다.
알렉산더 그로텐디크가 《대수기하학 원론》 4권[1]에서 도입하였다.
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]