미분동형사상

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미분동형사상(微分同形寫像, 영어: diffeomorphism)은 두 미분다양체 사이의, 미분 가능이고 그 역도 미분 가능한 위상동형사상이다. 즉, 각 점에서 국소적인 좌표를 잡았을 때, 그 좌표에 대하여 미분 가능하고, 그 역이 존재하고, 그 역도 미분 가능해야 한다.

정의[편집]

미분다양체 M,N 사이의 미분동형사상 \phi\colon M\to N은 다음을 만족하는 M\to N 위상동형사상이다.

x\in M에 대하여, x\in M 주위에 국소적 좌표를 잡고, \phi(x)\in N 주위에 국소적 좌표를 잡자. 그렇다면 \phi는 국소적으로 \tilde\phi\colon U\subset\mathbb R^n\to V\subset\mathbb R^n의 꼴로 나타내어진다. 이 때, \tilde\phi는 (유클리드 공간에서의 정의로) 미분가능하여야 하고, 또 그 역 \tilde\phi^{-1}\colon\tilde\phi(U)\to U가 존재하고, 또 \tilde\phi^{-1}도 미분 가능해야 한다.

위에서, 미분 가능성 대신, 더 엄격한 C^n 매끈함을 요구할 수도 있다. 이는 Cn 미분동형사상이라고 부른다.

두 다양체 사이에 적어도 하나의 미분동형사상이 존재한다면, 두 다양체를 미분동형(微分同形, 영어: diffeomorphic)이라고 부른다. 이는 동치 관계를 이룬다.