미분다양체

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미분다양체는 간단히 말해 미적분학을 전개할 수 있는 다양체이다. 구체적으로는 상황에 따라 연속적으로 미분가능한 다양체를 말할 수도 있고, k번 미분가능한 다양체를 말할 수도 있으며, 무한번 미분가능한 다양체(즉, 매끈한 다양체)나 복소 미분가능한 다양체를 말할 수도 있다. '미분다양체'라는 용어를 어떤 의미로 사용하는지는 대체로 한번 정도 명확히 언급하나, 그런 언급이 없는 경우에는 문맥을 통해 파악해야 한다.

정의[편집]

국소적으로 유클리드 공간위상동형위상공간위상다양체라 하고, 여기에서의 각 위상동형사상을 국소좌표계(chart)라 한다. 서로소가 아닌 두 열린 집합 Uα와 Uβ 및 여기에서 Rn으로의 국소좌표계 φα와 φβ에 대해,  \phi_{\alpha} \circ \phi_{\beta}^{-1}: \phi_{\beta} (U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \phi_{\alpha} (U_{\alpha} \cap U_{\beta})추이사상이라 한다. 이때 미분다양체 는 모든 추이사상이 미분가능한 위상다양체이다.

Ck-다양체는 모든 추이사상이 Ck(Rn)인 위상다양체를 말한다.

매끈한 다양체 혹은 C-다양체는 모든 추이사상이 매끈한 함수인 다양체를 말한다. 이는 추이사상에 대해 모든 계수의 미분이 존재한다는 것과 동치이며, 따라서 매끈한 다양체는 임의의 자연수 k에 대해 Ck-다양체이다.

해석다양체 혹은 Cω-다양체는 모든 추이사상이 해석함수인 다양체를 말한다. 즉, 이는 추이사상의 테일러 전개가 적절한 열린 공 안에서 절대수렴하는 경우이다.

복소다양체는 국소적으로 Cn과 위상동형이며, 모든 추이사상이 복소해석함수인 위상공간이다.

참고 문헌[편집]