미분

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
미적분학
v  d  e  h

미분(微分)은 함수의 순간변화율을 구하는 계산 과정이다.[1] 적분과 함께 미적분학을 이룬다.

순간변화율은 평균변화율의 극한으로 생각할 수 있다. 우선, 함수 f(x) 에서 x의 변화량  \Delta x[주해 1] 에 대한 f(x)의 변화량 f(x + \Delta x)-f(x)의 비

\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}

를 구할 수 있을 때 이를 평균변화율이라고 한다.[1]

평균변화율의 극한을 취하여 함수 f(x)의 특정 지점 x 에서 변화량 Δ x 가 0으로 수렴할 때의 변화율을 순간변화율 또는 미분계수라고 하고 다음의 수식과 같이 나타낸다.[2]

\frac{d}{d x} f(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}

미분은 연속적이고 지속적인 변화량에 대한 순간변화율을 의미한다. 따라서 연속적이지 않은 변화량에서나 첨점과 같은 특이점에서는 미분이 불가능하다. 함수의 그래프에서 미분은 함수 곡선의 특정 지점에서 접선으로 나타낼 수 있다.

함수 f(x) 의 특정 구간[주해 2]정의역으로 하고 미분계수를 치역으로 하는 함수 f'(x)를 f(x)에 대한 도함수라고 한다. 따라서, 미분에 의해 도함수를 구하는 과정은 f(x) \to f'(x) 로의 사상이다. 함수 f(x) 에 대한 도함수 f'(x) 를 구하는 것을 “f(x)x 에 대해 미분한다”고 한다.[2]

변화율[편집]

미분의 개념을 이해하기 위해 높은 다리위에서 손에 쥐었던 농구공을 가만히 놓아 떨어뜨리는 것을 예로 들어보자.[3] 공기의 저항이나 바람의 영향같은 것이 없다고 생각하면 농구공의 자유낙하는 다음과 같은 결과를 얻을 것이다.

농구공의 자유낙하
낙하 시간
t ()
낙하거리
r (m)
평균낙하속도
Vav (m / 0.1초)
평균가속도
Aav(m / 0.1초2)
0 0 - - -
0.1 0.049 0 \to 0.1 0.049 -
0.2 0.196 0.1 \to 0.2 0.147 0.098
0.3 0.441 0.2 \to 0.3 0.245 0.098
0.4 0.784 0.3 \to 0.4 0.343 0.098
0.5 1.225 0.4 \to 0.5 0.441 0.098
t  \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 t \to t + \Delta t 9.8 \times t +  \frac{1}{2} \times 9.8 \times \Delta t \times 0.1 9.8 \times 0.1^2

Falling ball.jpg

평균변화율[편집]

위 표에서 농구공의 낙하 시간을 t라 하고 낙하거리를 r이라 하면, 함수 f: t \to r은 다음과 같은 관계식으로 나타낼 수 있다.

r = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2

수식을 간단히 하기 위해 \frac{1}{2} \times 9.8 을 k라 하면

r =k t^2 \

가 된다.


또한, 위의 표에서 낙하시간이 지남에 따라 나타나는 낙하 거리의 변화율, 즉 평균 낙하 속도를 구할 수 있다. 평균변화율은

\frac{\Delta}{\Delta x} f(x) = \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}

이고, 평균 속도는 일정 시간이 지나는 동안 위치가 변한 정도의 이므로[4], 평균속도 Vav

v_{av} = \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{k {(t + \Delta t)}^2 - k t^2}{\Delta t}
= k \cdot \frac{ {(t + \Delta t)}^2 -  t^2}{\Delta t} =  k \cdot \frac{ t^2 + 2 t \Delta t + {\Delta t}^2 -  t^2}{\Delta t}
=k \cdot \frac{2 t \Delta t + {\Delta t}^2 }{\Delta t} = k \cdot ( 2t + \Delta t ) = k \cdot ( 2t + \Delta t ) 따라서
v_{av} = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot ( 2t + \Delta t )
=9.8 \cdot t +  \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot \Delta t


예를 들어 낙하시간 0.4초에서 0.5초 사이의 평균속도는 t = 0.4 이고 \Delta t = 0.1 인 경우이므로

v_{av}(t=0.4 \to 0.5 ) = 9.8 \cdot 0.4 +  \frac{1}{2} \cdot 9.8  \cdot 0.1 = 4.41 m/s  = 0.441 m/0.1s (s=초)

이와 같이 함수 f: t \to r 의 일정 구간에서 t의 변화량 Δ t에 대한 r의 변화량 Δ r의 비를 구할 수 있고 이를 평균변화율이라 한다.

한편, 평균낙하속도의 변화율, 즉 평균 가속도는 낙하시간의 변화량의 제곱에 9.8을 곱한 값으로 언제나 일정함을 알 수 있다. 즉, 중력 가속도는 9.8 m/초2 또는 0.098 m/0.1초2 이다.

순간변화율[편집]

위의 평균변화율 예제에서 t의 변화량 \Delta t가 극히 작아져 0으로 수렴하는 경우를 생각해 보면 결국 한 순간에서의 변화율을 생각할 수 있다. 이를 순간변화율이라 한다. 미분은 어떤 함수의 순간변화율을 구하는 계산 과정이고 한 지점에서의 순간변화율을 미분계수라고 한다.[1] 이는 달리 말하면 한 지점에서의 변화율에 대한 함수의 극한을 구하는 것과 같다.

일반적으로 함수 f(x)의 x에서의 순간변화율은 변화량인 Δ x가 0에 수렴될 때의 변화율이라고 생각할 수 있다. 이를 평균변화율에 견주어

\frac{d}{d x} f(x)

로 나타낸다. 이를 수식으로 표현하면

\frac{d}{d x} f(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \cdots \cdots A

이 된다.

위 에서 예를 든 자유낙하의 경우, 특정 시간 t에 대한 낙하거리의 순간변화율, 즉 순간속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.

f(t)=\frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 에서  k= \frac{1}{2} \times 9.8 이라 하면
f(t)=k \times t^2 이고, 〈식 A〉에 f(t)를 대입하면 t에서의 순간속도는
\frac{d}{d t} f(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}
= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ k \times {(t + \Delta t)}^2 - k \times t^2}{\Delta t} = k \times \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ {(t + \Delta t)}^2 - t^2}{\Delta t}
 =  k \times \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ t^2 + 2 t \Delta t + {\Delta t}^2 - t^2}{\Delta t} =  k \times \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ 2 t \Delta t + {\Delta t}^2 }{\Delta t}
 =  k \times \lim_{\Delta t \to 0} 2t + \Delta t 그런데 \Delta t는 0으로 수렴하므로,
 = k \times 2t 한편,  k= \frac{1}{2} \times 9.8 이므로
 =  \frac{1}{2} \times 9.8 \times 2t = 9.8 \times t 따라서,
\frac{d}{d t} f(t) = 9.8 \times t

도함수[편집]

위의 개요에서 살펴본 바와 같이 함수 f(x) = k x^2 를 미분하면 새로운 관계식을 갖는 함수 f'(x)=2k x 가 생성된다. 이와 같이 원래의 함수를 미분하여 생성되는 함수를 도함수라 한다. 일반적으로 다항 방정식을 관계식으로 하는 함수의 도함수는 미분 계산을 통하여 구할 수 있다. 즉, 함수 f(x)에 대한 도함수 f'(x)는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.[5]

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}[주해 3]

도함수를 나타내는 기호는 여러 가지가 있다. 이는 미적분학의 발전 과정에서 여러 학자들이 각기 다른 기호를 제안하였기 때문이다. 널리 쓰이는 기호는 다음과 같다.[5]

기호 제안자
\, f'(x) 라그랑주
\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),\; \frac{d}{dx}f(x) 라이프니츠
\dot{x} 뉴턴
D f(x) 오일러

일반적으로 도함수의 관계식 등을 표현할 때에는 라그랑주의 \, f'(x)가 널리 쓰이고, 미분 계수의 계산에서는 라이프니츠의 \frac{dy}{dx}가 흔히 쓰인다. 미분 계수는 계산과정에서 실제 분수와 같은 성질을 보이기 때문이다. 예를 들어, y=f(x) 이고,  x=g(t) 이면, 간접함수 y=h(t) 의 도함수는 다음과 같이 계산된다.[6]

\frac{dy}{dt} = \left( \frac{dy}{dx} \right) \cdot \left( \frac{dx}{dt} \right)

한편, 함수 f(x) 를 미분하여 구한 도함수 f'(x) 에 대해 미분이 가능하다면 또 다시 미분을 할 수 있다. 이렇게 도함수를 다시 미분하는 것을 이계 미분 이라하고 그렇게 하여 얻은 함수를 이계도함수라고 한다. 이계도함수는 f''(x) 로 나타낸다. 같은 원리로 삼계도함수, 사계도함수, … 와 같은 도함수를 구할 수 있다. [7] 함수를 미분하여 구한 도함수는 또 하나의 함수이다. 이계 이상의 도함수를 통칭하여 고계도함수 (제n계도함수, 제n차함수)라 하고 f^n(x) 로 나타낸다.

앞에서 다룬 농구공의 자유낙하 예제로 함수와 도함수, 이계 도함수의 관계를 살펴보면 다음과 같다.

함수 ( f(t) \ ) 도함수 ( f'(t) \ ) 이계 도함수 ( f''(t) \ )
낙하 거리 (m) 순간 속도 (m/) 순간 가속도 (m/2)
f(t)=\frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2 f'(t) = \frac{d}{d t} f(t) = 9.8 \cdot t f''(t) = \frac{d}{d t} f'(t) = 9.8

그래프와 접선[편집]

함수의 그래프에서 미분은 특정 지점에서 나타나는 접선의 기울기를 뜻한다.[8]

AccroissementMoyen.svg 왼쪽의 그래프에서 함수 f(x)의 평균 변화율은 직선 AB의 기울기가 된다.
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

이는 직선 AB의 탄젠트 값이므로 이를 이용하여 직선의 기울기를 각도로 표시할 수도 있다. 즉,

\tan{\Theta} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

가 된다.

Lim-secant.svg 왼쪽의 그래프와 같이 변화량 \Delta x 가 0 으로 수렴하는 극한을 취하면 결국 미분계수는 접선의 기울기가 된다.
Tangent-calculus.svg 따라서, 함수 f(x)의 특정 지점 f(x) 에서의 미분계수 f'(x) 는 (x, f(x) )에서 만나는 접선의 기울기가 된다.

미분 가능[편집]

y=|x| \ 의 그래프
연속이지만 미분이 불가능하다.

미분은 함수 f(x)의 순간변화율을 계산하는 과정이다. f(a) 에서 미분계수 f'(a) 가 존재할 때 미분 가능이라고 한다. 미분이 가능하면 변화량은 연속이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 첨점과 같이 연속이지만 미분이 불가능한 경우가 존재한다. 예를 들어 함수

y=|x| \

는 x=0 일때 연속이지만 미분은 불가능하다. 왜냐하면, 미분은 특정 지점에서 함수의 극한을 취하는 것으로 순간증가율과 순간감소율이 동일하다는 것을 전제로 하는데, 위의 함수의 경우 x=0 일때 순간감소율인 좌미분계수와 순간증가율인 우미분계수가 서로 다른 값을 갖게 되고 따라서 미분의 전제 조건을 충족할 수 없게 되어 미분이 불가능하게 된다.[9]

여러가지 함수의 미분[편집]

상수함수의 미분[편집]

f(x)=c(c는 상수)

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{c - c}{\Delta x}=0

실수배의 미분[편집]

y=cf(x)

y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{cf(x + \Delta x) - cf(x)}{\Delta x}=c\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}=cf'(x)

다항함수의 미분[편집]

n이 자연수인 경우,

인수분해를 이용하여 f(x) = {x^n}\ 의 도함수를 구하면,
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{{(x+\Delta x)^n}  - x^n}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x-x)(x^{n-1}+x^{n-2}(x+\Delta x)+x^{n-3}(x+\Delta x)^2+...+(x+\Delta x)^{n-1})}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x \to 0} {(x^{n-1}+x^{n-2}(x+\Delta x)+x^{n-3}(x+\Delta x)^2+...+(x+\Delta x)^{n-1})}이때  \Delta x 는 0 에 수렴하므로
=x^{n-1}+x^{n-1}+...+x^{n-1} = nx^{n-1}\ 따라서,
f'(x) = nx^{n-1}\

분수함수의 미분[편집]

n이 정수인 경우,

f(x) = {x^n}\ 의 도함수는(n=-m)
f'(x) = (x^n)'=(\frac{1}{x^m})'=\frac{-mx^{m-1}}{x^{2m}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}

이 된다.

유리함수의 미분[편집]

n이 유리수인 경우, 음함수의 미분법에 의해,

f(x) = {x^n}(n=\frac{q}{p})\ 의 도함수는
f(x) = {x^\frac{q}{p}}\
{{f(x)}^p} ={x^q}\
p{f(x)}^{p-1}f'(x) ={qx^{q-1}}\
f'(x)=\frac{q}{p}\frac{x^{q-1}}{{x^(\frac{q}{p})}^{p-1}}\
f'(x)=\frac{q}{p}{x^{q-q-(-\frac{q}{p})-1}}\
f'(x)=\frac{q}{p}{x^{\frac{q}{p}-1}}=nx^{n-1}\

n이 실수인 함수의 미분[편집]

n이 실수인 경우 로그미분법을 통해, f(x) = x^n 의 도함수는

\ln f(x) = n\ln x

에서 양변을 미분하여

\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{n}{x}

이고 정리하면

f'(x) = \frac{n}{x}{f(x)}=\frac{n}{x}{x^n}=nx^{n-1}

을 얻는다.

합, 차의 미분[편집]

(f(x)+g(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x)+g(x + \Delta x)} - (f(x)+g(x))}{\Delta x}\
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)+g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x)} - f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \to 0} \frac{{g(x + \Delta x) - g(x)}}{\Delta x}\
= f'(x)+g'(x)\

같은 방법으로,

(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)\

곱의 미분[편집]

(f(x)g(x))'=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x)} - (f(x)g(x))}{\Delta x}\
=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x)}-{f(x)g(x+ \Delta x)}+{f(x)g(x+ \Delta x)} - (f(x)g(x))}{\Delta x}\
=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}g(x+ \Delta x)+\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}f(x)\
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\

몫의 미분[편집]

곱의 미분법과 같은 방법으로,

(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\

f(x)=1인 경우,

(\frac{1}{g(x)})'=\frac{-g'(x)}{(g(x))^2}\

합성함수의 미분[편집]

(f(g(x)))'=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f(g(x + \Delta x))} - f(g(x))}{\Delta x}\
=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f(g(x + \Delta x))} - f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\lim_{\Delta x \to 0} \frac{{g(x + \Delta x)} - g(x)}{\Delta x}\
{\Delta x \to 0} 이면, {{g(x+ \Delta x) \to g(x)}}이다.
=\lim_{{g(x+ \Delta x) \to g(x)}} \frac{{f(g(x + \Delta x))} - f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\lim_{\Delta x \to 0} \frac{{g(x + \Delta x)} - g(x)}{\Delta x}\
따라서 (f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)\

역함수의 미분[편집]

y=f^{-1}(x)이면 x=f(y)이므로 합성함수의 미분법을 통해
1=f'(y)y'
따라서 y'=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

음함수의 미분[편집]

변수가 한개인 함수를 양함수라 하고 두개인 함수를 음함수라 한다.

f(y)=f(x)일 때, \frac{d}{dx}f(y)=f'(x)

삼각함수의 미분[편집]

삼각함수의 미분 역시 다항식의 미분과 같이 함수의 극한을 통해 계산할 수 있다. 예를 들어 f(x) = \sin{x} 의 도함수는 다음과 같이 계산된다.[10]

도함수의 정의에 의해

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin{(x + \Delta x)} - \sin{x} }{\Delta x}

이때,

\sin{A} - \sin{B} = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)

이므로, 위의 도함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}}
= \lim_{\Delta x \to 0}{\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}}}

한편,

\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} }{x} = 1

이므로

\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}}} = 1

이다. 따라서 위의 도함수는

f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}{\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)}

가 된다. \Delta x 는 0으로 수렴하므로,

f'(x)=\cos{x} \


위와 같은 방법을 통해 다른 삼각함수에 대해서도 도함수를 구할 수 있다. 다음은 각 종 삼각함수의 도함수이다.

 \left(\sin(x)\right)' = \cos(x)
 \left(\cos(x)\right)' = -\sin(x)
 \left(\tan(x)\right)' = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)
 \left(\cot(x)\right)' = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -(1+\cot^2(x)) = -\csc^2(x)
 \left(\sec(x)\right)' = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)}.\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)
 \left(\csc(x)\right)' = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)}.\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)
 \left(\arcsin(x)\right)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \left(\arccos(x)\right)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
 \left(\arctan(x)\right)' = \frac{1}{x^2+1}

지수 함수의 미분[편집]

지수 함수 f(x)=b^x 의 도함수 f'(x)는 다음과 같다.[11] 편의상 \Delta xh 로 표기한다.

f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{b^{x+h} - b^x}{h}

지수 법칙에 의해

b^{x+h} - b^x = b^x b^h - b^x =b^x(b^h-1) \

이므로,

f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{b^x(b^h-1)}{h}
=b^x \lim_{h \to 0} \frac{b^h-1}{h}

이때 상수 k

\ln b=\lim_{h \to 0} \frac{b^h-1}{h}

와 같이 정의하면,

f'(x)= b^x\ln b \

가 된다.

한편 b = e 일때

\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} = 1

이 되므로,  f(x)=e^x 의 도함수는 자기 자신인  f'(x)=e^x 이 된다.

로그 함수의 미분[편집]

f(x)=\log_a x
x=a^{f(x)}
합성함수의 미분법에 의해,
1={a^{f(x)}}f'(x)\ln a
f'(x)={\frac{1}{a^{f(x)}\ln a}}={\frac{1}{x\ln a}}
x=e인 경우 f(x)=\ln x
f'(x)={\frac{1}{x\ln e}}={\frac{1}{x}}

기타 미분의 예[편집]

(\Gamma(x))' = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt
(\Gamma(x))' = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) = \Gamma(x) \psi(x)
(\zeta(x))' = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} =
-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots
\!
(\zeta(x))' = -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2}\prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}} \!

역사[편집]

뉴턴은 변화량의 순간변화율이 곡선의 접선과 같다는 점을 발견하였다.

미분적분학에서 다루는 구적법과 같은 계산 방식은 고대 그리스아르키메데스원기둥부피를 계산한 때부터 전해왔다.[12] 그러나, 무한의 개념을 수학에 도입하여 계산하기 시작한 것은 17세기 이탈리아의 수학자 에반젤리스타 토리첼리 때 부터이다. 토리첼리는 무한소의 개념[주해 4]을 도입하여 포물선 일부 구간의 면적을 구하는 방법을 정리하였다. 또한 거리와 속도의 관계를 밝혔고 넓이를 구하는 문제가 접선을 구하는 문제와 역관계가 있다는 것을 밝혔다.[13]

아이작 뉴턴라이프니츠는 각각 독자적인 방법으로 미분적분학을 수립하였다. 뉴턴은 기하학을 바탕으로 순간적인 변화량을 구하는 방법을 발견하고 이를 유율법(영어: fluxion)이라고 불렀다. 뉴턴은 유율법을 곡선에 대한 접선과 곡률의 견지에서 파악하였다. 뉴턴은 1687년 《자연 철학의 수학적 원리》에 유율법을 발표하였다. 한편, 라이프니츠는 함수 f(x)에서 x가 무한히 작은 증분인 미분(영어: differential)의 변화량을 가질 때 f(x)의 변화량을 구하는 방법으로서 미분을 발견하였다. 라이프니츠는 1677년 무렵에는 미분의 계산방법과 표기법을 완성하였다. 오늘날에는 보다 수학적으로 효율적인 라이프니츠의 방법이 주로 쓰인다.[14]

뉴턴과 라이프니츠는 미분의 발견 공로를 놓고 오랫동안 다투었으며 이로 인해 유럽의 수학계는 둘 중 누구를 지지하는 가를 놓고 심한 대립을 보이기도 하였다. 뉴턴과 라이프니츠는 서로 상대방이 자신의 아이디어를 훔쳤다고 비난하였다. 이러한 대립은 라이프니츠가 사망한 이후에도 계속되었다. 오늘날에는 뉴턴과 라이프니츠가 각자 독자적인 방법으로 미분을 발견했다고 본다.[14]

주요 정리[편집]

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]

주해[편집]

  1. Δ x 를 증분(增分)이라고도 한다.
  2. 특정 구간은 함수 f(x)의 전체 구간일 수도 있고 일부 구간일 수도 있다.
  3. 예를 들어,
     f(x) = x^2 - 4\
    의 도함수는
     f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
    =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{ {(x + \Delta x)}^2 - 4 - (x^2 - 4)}{\Delta x}
    =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{ x^2 + 2 x \Delta x + {\Delta x}^2 - 4 - x^2 + 4}{\Delta x}
    =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{ 2 x \Delta x + {\Delta x}^2 }{\Delta x}
    =\lim_{\Delta x \to 0} 2 x + \Delta x
     f'(x) = 2x\
    가 된다.
  4. 무한히 작은 단위량

주석[편집]

  1. 박은순, 미분 적분학, 숭실대학교출판부, 2009년, ISBN 89-7450-235-6, 211-212쪽
  2. 방은숙 외, 미분적분학, 학문사, 1998, ISBN 89-467-4111-2, 71쪽
  3. 미야구치 유우지, 김상윤 역, 수학을 다시 시작하는 책, 자음과 모음, 2001, ISBN 89-8447-141-0, 156-160쪽
  4. 이준회 외, 생활 속의 과학, MJ미디어, 2003년, ISBN 89-7880-093-9, 21쪽
  5. 한상현, 현대토목수학, 동화기술, 2010, ISBN 89-425-1522-3, 217-218쪽
  6. 엘미마오, 허민 역, 오일러가 사랑한 수 e, 경문사, ISBN 89-7282-467-4 , 142-144 쪽
  7. 박진홍 외, 미분적분학, 학문사, 1998, ISBN 89-467-4063-9, 39쪽
  8. 하영원, 전기 수학, 기전연구사, 2009, ISBN 89-336-0807-9, 178-180쪽
  9. 한상현, 현대토목수학, 동화기술, 2010, ISBN 89-425-1522-3, 220쪽
  10. 김성수 외, 대학 수학, 청문각, 1998, ISBN 89-7088-171-9, 109-110 쪽
  11. 엘미마오, 허민 역, 오일러가 사랑한 수 e, 경문사, ISBN 89-7282-467-4, 151-152쪽 - 이하 증명도 이 책에 의한 것이다.
  12. 셔먼 스타인, 이우영 역, 아르키메데스, 경문사, 2006, ISBN 89-7282-926-9 , 145-168쪽
  13. 이광연, 수학자들의 전쟁, 프로네시스, 2007년, ISBN 89-01-07286-6, 69-70쪽
  14. 엘미마오, 허민 역, 오일러가 사랑한 수 e, 경문사, ISBN 89-7282-467-4, 102-141쪽