바이어슈트라스 함수

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구간 [2,2] 위의 바이어슈트라스 함수의 그래프. 프랙털로서 자기 유사성을 띤다, 즉 부분을 확대하면 (빨간 원) 자기 자신과 유사하다.

수학에서 바이어슈트라스 함수(Weierstraß 函數, 영어: Weierstrass function)는 병적인 함수의 한 예이다. 모든 점에서 연속이나, 모든 점에서 미분 불능이다. 독일의 수학자 카를 바이어슈트라스가 제안하였다.

바이어슈트라스 함수는 '모든 연속함수는 많아 봐야 고립점들의 집합에서만 미분 불가능'이라는 생각의 처음 출간된 (1872) 반례이기에 역사적 중요성을 띤다.[1]

정의[편집]

a=0.5, b는 0.1부터 5까지 선형 증가.

아래는 바이어슈트라스의 논문 원본에서의 정의이다.

f(x)= \sum_{n=0}^\infin a^n\cos (b^n\pi x)

(단, 0<a<1, b는 양의 홀수, ab>1+ \frac{3}{2}\pi)

위 조건을 만족하는 b의 최소값은 b=7이다. 이 함수의 정의와 모든 점에서의 미분 불가능성의 증명은 1872년 7월 18일 바이어슈트라스가 프로이센 과학 아카데미에 제출한 논문에서 처음 발표되었다.[2][3][4]

실해석학에서 바이어슈트라스 함수는 흔히 그와 비슷한 정의와 성질을 가진 함수를 지칭하는 데 쓰인다. 그 예로 무한급수 안의 코사인 함수를 삼각파로 대신한 것이 있다.

0<a<1, ab\ge 1의 전제 하에 모든 점에서 미분 불능임을 고드프리 해럴드 하디가 증명하였다.[5]

연속성과 미분가능성[편집]

바이어슈트라스 함수는 모든 점에서 연속이나, 모든 점에서 미분 불능이다.

모든 점에서의 연속성은 바이어슈트라스 M-판정법에서 M_n=a^n을 취하면 쉽게 증명된다.

모든 점에서의 미분 불가능성을 증명하려면, 임의의 x\in\mathbb{R}가 주어질 때, 두 수열 x_n,x_n'을 구성하여 아래를 증명하면 된다.

\liminf_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(x)}{x_n-x}>\limsup_{n\to\infty}\frac{f(x_n')-f(x)}{x_n'-x}

위에서 \liminf\limsup는 각각 상극한과 하극한이다.

모든 연속함수는 모든 점에서 미분 가능하거나 아주 작은 집합에서만 미분 불가능이라는 관념은 오래 존재해왔다. 바이어슈트라스의 논문에 의하면, 가우스를 비롯한 초기 수학자들은 이를 자주 기정 사실로 취급하였다. 반례를 찾아내기가 어려운 것이 이유일 수 있다. 실제로 일부 더 강한 조건의 연속성(예를 들어 립시츠 연속성)은 거의 어디서나 미분 가능임을 함의한다(레이드매처의 정리). 우리가 연속 함수를 그릴 때에도 결과물은 대개 립시츠 연속성 등의 더 좋은 성질을 가진다.

프랙털[편집]

바이어슈트라스 함수는 최초의 프랙털 중 하나로, 자기 유사성을 지닌다. 따라서 곡선을 확대해도 직선에 가까워지지 않으며 임의의 두 점 사이에서 단조성이 없다. 바이어슈트라스 함수의 하우스도르프 차원 D2+\frac{\ln a}{\ln b}를 상계로 갖는다. 일반적으로 D=2+\frac{\ln a}{\ln b}라고 추측하나 아직 증명되지 않았다.[6][7]

횔더 연속성[편집]

다음은 바이어슈트라스 함수의 동등한 표현이다.

W_\alpha(x)=\sum_{n=0}^\infty b^{-n\alpha}\cos(b^nx)

이 중 \alpha0<\alpha<1을 만족한다. W_\alpha(x)는 α-횔더 연속성을 가진다. 즉, 상수 C가 존재하여 임의의 x,y에 대하여[8]

|W_\alpha(x)-W_\alpha(y)|\le C|x-y|^\alpha

더 나아가 W_\alpha(x)는 임의의 0\le\alpha<1에 대해 α-횔더 연속이지만 립시츠 연속(즉 1-횔더 연속)은 아니다.

모든 곳에서 미분 불능인 함수의 조밀성[편집]

바이어슈트라스 함수가 소수 특례인 것은 아니다. 병적이지만 연속함수에게는 일반적이라는 것이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 바이어슈트라스 이전에 적어도 두 명의 연구자가 모든 곳에서 미분 불능인 연속 함수를 만들었다, 하지만 그들의 발견은 그들의 생전에 출간되지 않았다. 약 1831년에 체코의 수학자 및 철학자 베르나르트 볼차노는 이러한 함수를 구성하였지만 1922년에야 출간되었다. 다음을 참조.
    • Martin Jašek (1922) "Funkce Bolzanova" (체코어/독일어) (볼차노 함수), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Journal for the Cultivation of Mathematics and Physics), vol. 51, no. 2, pages 69 - 76 .
    • Vojtěch Jarník (1922) "O funkci Bolzanově" (체코어) (볼차노 함수에 대하여), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Journal for the Cultivation of Mathematics and Physics), vol. 51, no. 4, pages 248 - 264 (in Czech). (체코어). (영어).
    • Karel Rychlík (1923) "Über eine Funktion aus Bolzanos handschriftlichem Nachlasse" (원고대로 있는 볼차노의 저작에서의 함수에 대하여), Sitzungsberichte der königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften (Prag) (Proceedings of the Royal Bohemian Society of Philosophy in Prague) (for the years 1921-1922), Class II, no. 4, pages 1-20. (Sitzungsberichte was continued as: Věstník Královské české společnosti nauk, třída matematicko-přírodovědecká (Journal of the Royal Czech Society of Science, Mathematics and Natural Sciences Class).)
    약 1860년, 제네바 대학교의 수학, 역학, 천문학 및 자연지리학 교수 찰스 셀레리에(1818 - 1889)는 바이어슈트라스 함수와 매우 유사한 모든 곳에서 미분 불능인 연속 함수를 독립적으로 만들어냈다. 하지만 그의 발견은 그의 사후에 출간되었다. 다음 참조.
  2. On page 560 (독일어) of the 1872 Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Monthly Reports of the Royal Prussian Academy of Science in Berlin), there is a brief mention that on July 18th, "Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte Differentialquotienten" (Mr. Weierstrass read [a paper] about continuous functions without definite [i.e., well-defined] derivatives [to members of the Academy]). However, Weierstrass's paper was not published in the Monatsberichte.
  3. Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen," (독일어) (On continuous functions of a real argument which possess a definite derivative for no value of the argument) in: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlin, Germany: Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, pages 71–74.;
  4. Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre [Treatises from the Theory of Functions] (Berlin, Germany: Julius Springer, 1886), page 97 (독일어).
  5. Hardy G. H. (1916) "Weierstrass's nondifferentiable function," Transactions of the American Mathematical Society, vol. 17, pages 301–325.
  6. Kenneth Falconer,The Geometry of Fractal Sets (Cambridge, England: Cambridge University Press, 1985), pages 114, 149.
  7. Brian R. Hunt (1998) "The Hausdorff dimension of graphs of Weierstrass functions," (영어) Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 126, no. 3, pages 791-800.
  8. Zygmund, A. (2002) [1935], 《Trigonometric series. Vol. I, II》 (영어), Cambridge Mathematical Library 3판, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498 , p. 47.
  9. Mazurkiewicz, S.. (1931). “Sur les fonctions non dérivables” (영어). 《Studia. Math.》 (3): pp. 92–94. 
  10. Banach, S. (1931). “Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen” (영어). 《Studia. Math.》 (3): pp. 174–179. 

참고 문헌[편집]

  • B.R. Gelbaum and J.M.H. Olmstead, Counterexamples in Analysis, Holden Day Publisher (June 1964).
  • Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen," (독일어) in: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlin, Germany: Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, pages 71–74.; English translation: On continuous functions of a real argument that do not possess a well-defined derivative for any value of their argument, in: G.A. Edgar, Classics on Fractals, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, 3–9.
  • G.H. Hardy, "Weierstrass's nondifferentiable function," Trans. Amer. Math. Soc., 17(1916), 301–325.
  • K. Falconer, The Geometry of Fractal Sets, Oxford (1984).

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