차수 k 미분 형식(이하 간단히 k -형식)의 외미분은 차수 k + 1 미분 형식이다.
f 매끄러운 함수 (0 -형식)이면, f f 미분 이다. 즉, df 는 모든 매끄러운 벡터장 X 에 대해 df (X) = dX f 를 만족하는 유일한 1 -형식dX f 는 X 방향으로의 f 방향도함수 이다.
미분 형식의 외적(동일한 기호 ∧ 로 표기)은 그들의 점별 외적 으로 정의된다.
일반적인 k -형식의 외미분에는 다양한 등가 정의가 있다.
외미분
d
{\displaystyle d}
k -형식에서 (k + 1) -형식으로의 유일한 ℝ -선형 사상으로 다음 속성을 가진다.
0
{\displaystyle 0}
f
{\displaystyle f}
d
{\displaystyle d}
f
{\displaystyle f}
d
f
{\displaystyle df}
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
k
{\displaystyle k}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
d
(
a
α
+
b
β
)
=
a
d
α
+
b
d
β
{\displaystyle d(a\alpha +b\beta )=ad\alpha +bd\beta }
α
{\displaystyle \alpha }
k
{\displaystyle k}
β
{\displaystyle \beta }
l
{\displaystyle l}
d
(
α
∧
β
)
=
d
α
∧
β
+
(
−
1
)
k
α
∧
d
β
{\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta }
계량 곱 규칙 )이다.
α
{\displaystyle \alpha }
k
{\displaystyle k}
d
(
d
α
)
=
0
{\displaystyle d(d\alpha )=0}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
0
{\displaystyle 0}
d
(
f
∧
g
)
{\displaystyle d(f\wedge g)}
d
(
f
g
)
{\displaystyle d(fg)}
d
(
f
g
)
=
g
d
f
+
f
d
g
{\displaystyle d(fg)=g\,df+f\,dg}
α
{\displaystyle \alpha }
k
{\displaystyle k}
β
{\displaystyle \beta }
l
{\displaystyle l}
γ
{\displaystyle \gamma }
m
{\displaystyle m}
d
(
α
∧
β
∧
γ
)
=
d
α
∧
β
∧
γ
+
(
−
1
)
k
α
∧
d
β
∧
γ
+
(
−
1
)
k
+
l
α
∧
β
∧
d
γ
.
{\displaystyle d(\alpha \wedge \beta \wedge \gamma )=d\alpha \wedge \beta \wedge \gamma +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta \wedge \gamma +(-1)^{k+l}\alpha \wedge \beta \wedge d\gamma .}
또는, 국소 좌표계 (x1 , ..., xn 에서 전적으로 작업할 수 있다. 좌표 미분 dx1 , ..., dxn 은 각 좌표와 관련된 1차 형식 공간의 기저를 형성한다. 1 ≤ p ≤ k 에 대해 I = (i1 , ..., ik ) 다중 지표(및 dxi1 ik 를 dxI 로 표기)가 주어지면,
φ
=
g
d
x
I
=
g
d
x
i
1
∧
d
x
i
2
∧
⋯
∧
d
x
i
k
{\displaystyle \varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}
ℝn 위의 (단순) k -형식의 외미분은 다음과 같이 정의된다.
d
φ
=
d
g
∧
d
x
i
1
∧
d
x
i
2
∧
⋯
∧
d
x
i
k
=
∂
g
∂
x
j
d
x
j
∧
d
x
i
1
∧
d
x
i
2
∧
⋯
∧
d
x
i
k
{\displaystyle d{\varphi }=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {\partial g}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\wedge \,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}
(아인슈타인 표기법 사용). 외미분 정의는 일반적인 k -형식(기본 단순
k
{\displaystyle k}
선형 적으로 확장된다.
ω
=
f
I
d
x
I
,
{\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I},}
여기서 다중 지표 I 의 각 구성 요소는 {1, ..., n} 의 모든 값을 가진다. j 가 다중 지표 I 의 구성 요소 중 하나와 같을 때마다 dxj I 임을 유의하라 (외적 참조).
국소 좌표에서의 외미분 정의는 이전 공리적 정의 에서 파생된다. 실제로 위에서 정의된 k -형식 φ 를 사용하면 다음과 같다.
d
φ
=
d
(
g
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
)
=
d
g
∧
(
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
)
+
g
d
(
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
)
=
d
g
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
+
g
∑
p
=
1
k
(
−
1
)
p
−
1
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
p
−
1
∧
d
2
x
i
p
∧
d
x
i
p
+
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
=
d
g
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
=
∂
g
∂
x
i
d
x
i
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
{\displaystyle {\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}}
여기서 우리는 g 를 0 -형식으로 해석하고 외미분의 속성을 적용했다.
이 결과는 일반적인 k -형식 ω 로 직접 확장되어 다음과 같다.
d
ω
=
∂
f
I
∂
x
i
d
x
i
∧
d
x
I
.
{\displaystyle d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}
특히, 1 -형식 ω 의 경우, 국소 좌표계 에서의 dω 의 구성 요소는 다음과 같다.
(
d
ω
)
i
j
=
∂
i
ω
j
−
∂
j
ω
i
.
{\displaystyle (d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.}
주의:
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
{\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}
(
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
)
(
∂
∂
x
i
1
,
…
,
∂
∂
x
i
k
)
=
1.
{\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.}
반면 Kobayashi와 Nomizu 또는 Helgason과 같은 옛 문헌에서는 다음 관례를 따른다.
(
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
)
(
∂
∂
x
i
1
,
…
,
∂
∂
x
i
k
)
=
1
k
!
.
{\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.}
또는, k -형식 ω 의 외미분에 대한 명시적 공식이 주어질 수 있다[ 1] k + 1 개의 임의의 매끄러운 벡터장 V0 , V1 , ..., Vk 와 쌍을 이룬다.
d
ω
(
V
0
,
…
,
V
k
)
=
∑
i
(
−
1
)
i
V
i
(
ω
(
V
0
,
…
,
V
^
i
,
…
,
V
k
)
)
+
∑
i
<
j
(
−
1
)
i
+
j
ω
(
[
V
i
,
V
j
]
,
V
0
,
…
,
V
^
i
,
…
,
V
^
j
,
…
,
V
k
)
{\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})}
여기서 [Vi , Vj ] 는 리 괄호 를 나타내고, 윗기호는 해당 요소의 생략을 나타낸다.
ω
(
V
0
,
…
,
V
^
i
,
…
,
V
k
)
=
ω
(
V
0
,
…
,
V
i
−
1
,
V
i
+
1
,
…
,
V
k
)
.
{\displaystyle \omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).}
특히, ω 가 1 -형식일 때 dω(X, Y) = dX (ω(Y)) − dY (ω(X)) − ω([X, Y]) 이다.
참고: Kobayashi–Nomizu 및 Helgason과 같은 관례에 따르면 공식은 1 / k + 1
d
ω
(
V
0
,
…
,
V
k
)
=
1
k
+
1
∑
i
(
−
1
)
i
V
i
(
ω
(
V
0
,
…
,
V
^
i
,
…
,
V
k
)
)
+
1
k
+
1
∑
i
<
j
(
−
1
)
i
+
j
ω
(
[
V
i
,
V
j
]
,
V
0
,
…
,
V
^
i
,
…
,
V
^
j
,
…
,
V
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}}
예시 1. 스칼라장 u 에 대해 1 -형식 기저 dx1 n 에서 σ = u dx1 2 를 고려하자. 외미분은 다음과 같다.
d
σ
=
d
u
∧
d
x
1
∧
d
x
2
=
(
∑
i
=
1
n
∂
u
∂
x
i
d
x
i
)
∧
d
x
1
∧
d
x
2
=
∑
i
=
3
n
(
∂
u
∂
x
i
d
x
i
∧
d
x
1
∧
d
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}}
합이 i = 3 에서 시작하는 마지막 공식은 외적 의 속성에서 쉽게 유도된다. 즉, dxi i 이다.
예시 2. ℝ2 에 정의된 1 -형식 σ = u dx + v dy 라고 하자. 각 항에 위 공식을 적용하여(여기서 x1 및 x2 로 간주) 다음 합을 얻는다.
d
σ
=
(
∑
i
=
1
2
∂
u
∂
x
i
d
x
i
∧
d
x
)
+
(
∑
i
=
1
2
∂
v
∂
x
i
d
x
i
∧
d
y
)
=
(
∂
u
∂
x
d
x
∧
d
x
+
∂
u
∂
y
d
y
∧
d
x
)
+
(
∂
v
∂
x
d
x
∧
d
y
+
∂
v
∂
y
d
y
∧
d
y
)
=
0
−
∂
u
∂
y
d
x
∧
d
y
+
∂
v
∂
x
d
x
∧
d
y
+
0
=
(
∂
v
∂
x
−
∂
u
∂
y
)
d
x
∧
d
y
{\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}}
k -형식 ω 는 dω = 0 이면 닫힌 형식이라고 불린다. 닫힌 형식은 d 의 핵 이다. ω 는 어떤 (k − 1) -형식 α 에 대해 ω = dα 이면 완전 형식이라고 불린다. 완전 형식은 d 의 상 이다. d2 이므로 모든 완전 형식은 닫힌 형식이다. 푸앵카레 보조정리 는 수축 가능한 영역에서 그 역도 성립한다고 말한다.
외미분 d 가 d2 속성을 가지므로, 다양체 위의 드람 코호몰로지 를 정의하기 위한 미분 (코경계)으로 사용될 수 있다. k -번째 드람 코호몰로지 (군)는 닫힌 k -형식의 벡터 공간을 완전 k -형식으로 나눈 것이다. 이전 섹션에서 언급했듯이, 푸앵카레 보조정리는 이들 벡터 공간이 수축 가능한 영역에서 k > 0 에 대해 자명하다는 것을 나타낸다. 매끄러운 다양체 의 경우, 형식의 적분은 드람 코호몰로지에서 ℝ 위의 단일 코호몰로지로의 자연스러운 준동형 사상을 제공한다. 드람의 정리는 이 사상이 실제로는 동형 사상이며, 푸앵카레 보조정리의 광범위한 일반화임을 보여준다. 일반화된 스토크스의 정리에서 제안된 바와 같이, 외미분은 단일 심플렉스에서의 경계 사상 의 "이중"이다.
외미분은 기술적인 의미에서 자연스럽다. 만약 f : M → NΩk 가 각 다양체에 다양체 위의 k -형식 공간을 할당하는 반변 매끄러운 함자 라면, 다음 다이어그램이 교환한다.
따라서 d( f∗ f∗ 이며, 여기서 f∗ f 당김 을 나타낸다. 이는 f∗ ω( f∗ (·)) 이기 때문이며, 여기서 f∗ f 푸쉬포워드 이다. 따라서 d 는 Ωk 에서 Ωk+1 로의 자연 변환 이다.
대부분의 벡터 미적분학 연산자는 외미분 개념의 특수한 경우이거나 밀접한 관계를 가진다.
실수 미분 다양체 M 위의 매끄러운 함수 f : M → ℝ0 -형식이다. 이 0 -형식의 외미분은 1 -형식 df 이다.
내적 ⟨ ·,·⟩ f 기울기 ∇f 는 V 의 어떤 요소와의 내적이 벡터를 따른 f V 의 유일한 벡터로 정의된다. 즉,
⟨
∇
f
,
⋅
⟩
=
d
f
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
d
x
i
.
{\displaystyle \langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.}
즉,
∇
f
=
(
d
f
)
♯
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
(
d
x
i
)
♯
,
{\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },}
여기서 ♯ 음악 동형 ♯ : V∗ → V
1 -형식 df 는 공변접다발 의 한 단면이며, 각 점에서 공변접공간에서 f
ℝn 위의 벡터장 V = (v1 , v2 , ..., vn ) 은 해당 (n − 1) -형식을 가진다.
ω
V
=
v
1
(
d
x
2
∧
⋯
∧
d
x
n
)
−
v
2
(
d
x
1
∧
d
x
3
∧
⋯
∧
d
x
n
)
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
v
n
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
−
1
)
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
(
i
−
1
)
v
i
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
−
1
∧
d
x
i
^
∧
d
x
i
+
1
∧
⋯
∧
d
x
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}}
여기서
d
x
i
^
{\displaystyle {\widehat {dx^{i}}}}
(예를 들어, n = 3 , 즉 3차원 공간에서 2 -형식 ωV 는 국소적으로 V 와의 스칼라 삼중곱 이다.) 초표면 위의 ωV 의 적분은 해당 초표면 위의 V 의 선속 이다.
이 (n − 1) -형식의 외미분은 n -형식이다.
d
ω
V
=
div
V
(
d
x
1
∧
d
x
2
∧
⋯
∧
d
x
n
)
.
{\displaystyle d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).}
ℝn 위의 벡터장 V 는 해당 1 -형식도 가진다.
η
V
=
v
1
d
x
1
+
v
2
d
x
2
+
⋯
+
v
n
d
x
n
.
{\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.}
국소적으로 ηV 는 V 와의 스칼라곱 이다. 경로를 따른 ηV 의 적분은 해당 경로를 따른 −V 에 대해 수행된 일 이다.
n = 3 일 때, 3차원 공간에서 1 -형식 ηV 의 외미분은 2 -형식이다.
d
η
V
=
ω
curl
V
.
{\displaystyle d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.}
표준 벡터 미적분학 연산자는 모든 준 리만 다양체 에 대해 일반화될 수 있으며, 좌표 없는 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
grad
f
≡
∇
f
=
(
d
f
)
♯
div
F
≡
∇
⋅
F
=
⋆
d
⋆
(
F
♭
)
curl
F
≡
∇
×
F
=
(
⋆
d
(
F
♭
)
)
♯
Δ
f
≡
∇
2
f
=
⋆
d
⋆
d
f
∇
2
F
=
(
d
⋆
d
⋆
(
F
♭
)
−
⋆
d
⋆
d
(
F
♭
)
)
♯
,
{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}}
여기서 ⋆ 는 호지 별 연산자 , ♭ ♯ 음악 동형 이며, f 스칼라장 이고 F 는 벡터장 이다.
curl 에 대한 표현은 ♯ n − 2 형식인 ⋆d(F♭ 에 작용해야 한다는 것을 유의해야 한다. 임의 차수의 k -형식으로 ♯ n 에 대해 의미를 가질 수 있다.
![{\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97e58ff8e6f8ba4c1e1c782e48e96865dcd416c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e205fa277b68a1d588ce1f07424caab7cce6c1)
