호지 쌍대

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미분기하학에서, 호지 쌍대(Hodge雙對, Hodge dual)는 미분형식을 그 여차원의 미분형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 별표(*). 호지 별표(Hodge star)로도 부른다.

정의[편집]

(M,g)n차원 유향 리만 다양체 또는 유사 리만 다양체이고, \alpha가 그 위에 정의된 k미분형식이라고 하자 (0\le k\le n). 그렇다면 \alpha호지 쌍대 *\alphan-k미분형식으로, 다음을 만족한다. 임의의 k차 미분형식 \beta에 대하여,

\beta\wedge*\alpha=\langle\beta,\alpha\rangle\omega.

여기서 \langle,\rangle은 미분형식의 내적이고, \omega는 다양체의 을 정의하는 n차 미분형식인 부피 형식(volume form)이다.

성분으로 쓰면 다음과 같다.

(*\alpha)_{i_{k+1},i_{k+2},\dots,i_n}=\frac1{k!}\sqrt{|\det g|}\alpha^{i_1,\dots,i_k}\epsilon_{i_1,i_2,\dots,i_n}.

여기서 \sqrt{|\det g|}\epsilon_{i_1,\dots,i_n}=\omega_{i_1,\dots,i_n}은 부피 형식이고, \epsilon^{i_1,\dots,i_n}레비치비타 기호이다.

성질[편집]

호지 쌍대는 다음을 만족한다. \alphan차원 다양체 위에 정의된 k차 미분형식이라고 하자. 그렇다면

**\alpha=(-1)^{k(n-k)}s\alpha

이다. 여기서 s리만 다양체의 경우 +1이고, 유사 리만 다양체일 경우 계량 부호수에서 마이너스가 홀수개 있는 경우 −1, 짝수개 있는 경우 +1이다.

공미분[편집]

미분형식의 공미분(codifferential) \delta는 미분형식의 차수를 1 증가시키는 연산으로, 외미분 d에 대응하는 연산이다. 이는 다음을 만족한다.

\langle\delta\alpha,\beta\rangle=\langle\alpha,d\beta\rangle.

따라서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. \alphak차 형식이라면,

\delta\alpha=(-1)^k*^{-1}d*\alpha

이다.

공미분은 외미분과 마찬가지로 \delta^2=0을 만족한다.

미분형식에 대한 라플라스-벨트라미 연산자 \Delta는 공미분을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

\Delta=(d+\delta)^2=d\delta+\delta d.

바깥 고리[편집]