호지 쌍대

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미분기하학에서, 호지 쌍대(Hodge雙對, Hodge dual)는 미분 형식을 그 여차원의 미분 형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 별표(). 호지 별표(Hodge star)로도 부른다.

정의[편집]

차원 유향 리만 다양체 또는 준 리만 다양체이고, 가 그 위에 정의된 미분 형식이라고 하자 (). 그렇다면 호지 쌍대 미분 형식으로, 다음을 만족한다. 임의의 차 미분 형식 에 대하여,

.

여기서 은 미분 형식의 내적이고, 는 다양체의 방향을 정의하는 차 미분 형식인 부피 형식(volume form)이다.

성분으로 쓰면 다음과 같다.

.

여기서 은 부피 형식이고, 레비치비타 기호이다.

성질[편집]

호지 쌍대는 다음을 만족한다. 차원 다양체 위에 정의된 차 미분 형식이라고 하자. 그렇다면

이다. 여기서 리만 다양체의 경우 +1이고, 준 리만 다양체일 경우 계량 부호수에서 음부호가 홀수개 있는 경우 −1, 짝수개 있는 경우 +1이다.

공미분[편집]

미분 형식의 공미분(codifferential) 는 미분 형식의 차수를 1 증가시키는 연산으로, 외미분 에 대응하는 연산이다. 이는 다음을 만족한다.

.

따라서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. 차 형식이라면,

이다.

공미분은 외미분과 마찬가지로 을 만족한다.

미분 형식에 대한 라플라스-벨트라미 연산자 는 공미분을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

.

바깥 고리[편집]