단위 분할

단위분할의 도식. 각 점에서 함수들의 합은 1이다.

수학에서 단위 분할(單位分割, 영어: partition of unity)은 공간을 총합이 1인 일련의 함수들을 사용해 분할하는 방법이다. 국소적 작도를 대역적으로 확장할 때 쓰인다.

정의

위상 공간 $X$ 위의 단위 분할 ${\mathcal {F}}$은 다음 두 조건을 만족시키는 $X\to [0,1]$ 연속 함수들의 집합이다.

• 모든 점 $x\in X$에 대하여, $|\{f\in {\mathcal {F}}\colon f|_{U_{x}}\neq 0\}|<\aleph _{0}$인 근방 $U_{x}\ni x$가 존재한다.
• 모든 점 $x\in X$에서, $\sum _{f\in {\mathcal {F}}}f(x)=1$이다.

위상 공간 $X$의 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$ 및 단위 분할 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 만약 임의의 $f\in {\mathcal {F}}$에 대하여 $\operatorname {supp} f\subseteq U$인 $U\in {\mathcal {U}}$가 존재한다면, ${\mathcal {F}}$를 ${\mathcal {U}}$에 종속된 단위 분할(영어: partition of unity subordinate to ${\mathcal {U}}$)이라고 한다.

성질

하우스도르프 공간의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 파라콤팩트 공간이다.
• 임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속된 단위 분할이 존재한다.

응용

미분기하학에서, 단위 분할은 유클리드 공간 위의 함수에 대하여 정의되는 성질들을 매끄러운 다양체 전체로 짜깁기하기 위하여 쓰인다. 예를 들어, 부피 형식의 적분을 정의하려면, 다양체의 좌표근방계에 종속되는 단위 분할을 찾아서, 각 단위 분할을 국소 좌표계를 사용하여 유클리드 공간으로 보내어 정의한다. 그 뒤, 이 정의가 좌표근방계의 선택 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보여야 한다.

외부 링크

• Todd Rowland. “Partition of unity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Partition of unity”. 《nLab》 (영어).