드람 코호몰로지

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드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology)는 다양체미분형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. 대수적 위상수학미분 위상수학에서 다루며, 미분형식을 써서 미분다양체위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 미분다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.

정의[편집]

주어진 미분다양체 M 위에 존재하는 매끈한 k-미분 형식이 이루는 벡터 공간 \Omega^k (M)을 생각하자. 이들 사이에는 외미분 d에 따른 선형사상

 d_k: \Omega^k (M) \to \Omega^{k+1} (M)

이 존재한다. 외미분은  d^2 = 0 을 만족하므로, \Omega^k(M)d공사슬 복합체(cochain complex)를 이룬다. 이는 드람 복합체라고 부른다. 즉

H_\text{dR}^k(M)=\ker d_k/\operatorname{im} d_{k-1}

이다.

다른 형식의 외미분인 형식을 완전 형식(exact form)이라고 부르며, 외미분이 0인 형식을 닫힌 형식(closed form)이라고 부른다. 따라서 드람 복합체 H^k(M)은 닫힌 k-형식의 공간에서 완전 (k-1)-형식의 외미분을 더하는 것에 대한 동치류를 취한 상공간이다.

간단한 예로, 다양체 Mn개의 연결 성분(connected component)를 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

 H^0 _{dR}(M)=\mathbb{R}^n

즉, 다양체 M위에서 정의된 매끈한 함수의 기울기(gradient)가 0이면, 그 함수는 각각의 연결 성분에서 상수 함수다.

관련 코호몰로지[편집]

다양체 M 안의 k-특이 사슬(k-단체[simplex]의 일차결합) C위에 k-형식 \omega를 적분할 수 있다. 즉 \textstyle\int_C\omega가 정의 가능하다. 이는 스토크스 정리에 따라 드람 코호몰로지 H^k_\text{dR}(M)에서 특이 코호몰로지 H^k(M;\mathbb R)으로 가는 사슬 사상을 정의할 수 있다. 드람 정리에 따라 이는 사실 사슬 동형사상이다. 이는 조르주 드 람이 1931년에 증명하였다.

다양체가 콤팩트하고 리만 구조를 지닌 경우에는 호지 이론(영어: Hodge theory)에 따라 조화미분형식의 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 호지 정리(Hodge theorem)에 따라 드람 코호몰로지와 조화 코호몰로지는 동형이다.

또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) 체흐 코호몰로지(Čech cohomology)나 알렉산더-스패니어 코호몰로지(Alexander–Spanier cohomology)와 동형이다.

복소 다양체의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 돌보 코호몰로지(영어: Dolbeault cohomology)를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다. 켈러 다양체의 경우 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지는 동형이다.

드람 코호몰로지의 계산[편집]

항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 마이어-피토리스 열 등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.

n-구체[편집]

n-차원 구체의 코호몰로지 군은 H_{dR}^{k}(S^n) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases} 이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 I가 임의의 선분일 때에, H_{dR}^{k}(S^n \times I^m) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases} 도 성립한다.

n-원환면[편집]

n차원 원환면의 드람 코호몰로지는 다음과 같다.

H_{dR}^{k}(T^n) \simeq \mathbb{R}^{n \choose k}

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간[편집]

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은, \mathbb{R}^n - \{0\}를 말한다. 이때에,

H_{dR}^{k}(\mathbb{R}^n - \{0\}) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}
\simeq H_{dR}^{k}(S^{n-1})

뫼비우스의 띠[편집]

뫼비우스의 띠 M은 호모토픽하게는 1-구체라는 것에서 계산이 바로 된다:

H_{dR}^{k}(M) \simeq H_{dR}^{k}(S^1)

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]