선형변환

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수학에서, 선형사상(線型寫像, linear map), 또는 선형변환(線型變換, linear transformation), 선형연산자(線型演算子, linear operator), 선형작용소(線型作用素)는, 벡터의 덧셈과 스칼라배 연산을 보존하는, 두 벡터 공간 사이의 함수이다.

정의[편집]

V, W F 위의 두 벡터 공간, f : V \to W를 두 벡터 공간 사이의 사상이라고 하자. 만약

f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)

가 임의의 두 벡터 \alpha, \beta \in V에 대해 성립하고,

f(c\alpha) = cf(\alpha)

가 임의의 스칼라 c \in F와 벡터 \alpha \in V에 대해 성립한다면, fV에서 W로의 선형사상이라고 한다.

선형사상을 다르게는 임의의 선형결합을 보존하는 사상으로 정의한다. 즉 선형사상은 임의의 스칼라 c_1, \ldots, c_m과 벡터 \alpha_1, \ldots, \alpha_m에 대해,

f(c_1\alpha_1 + \cdots + c_m\alpha_m) = c_1f(\alpha_1) + \cdots + c_mf(\alpha_m)

인 사상이다. 더 간명한 정의법은, 항상

f(c\alpha + \beta) = cf(\alpha) + f(\beta)

인 사상으로 정의하는 것이다.

일반적으로, V에서 V 자신으로의 선형사상을 선형변환(또는 선형연산자)이라고 하고, V에서 체 F로의 선형사상을 선형형식(또는 선형범함수)이라고 한다.

[편집]

  • 벡터 공간 V의 모든 벡터를, 벡터 공간 W영벡터로 대응시키는 f: V \to W는 (가장 간단한) 선형사상이다.
  • 벡터 공간 V 위의 항등사상은 선형사상이다.
  • 행렬 M \in F^{m \times n}에 대해, f: F^n \to F^m, x \mapsto Mx는 선형사상이다.
  • 3차원 유클리드 공간의 벡터에 대한 회전, 평행이동, 사영 등의 변환은 모두 선형변환이다.

성질[편집]

만약 f가 벡터 공간 V에서 W로의 선형사상이라면,

  • f(0_V) = 0_W (즉 영원의 상은 영원이다)
  • 임의의 \alpha \in V에 대해, f(-\alpha) = -f(\alpha) (즉 역원의 상은 역원이다)
  • \alpha_1, \ldots, \alpha_mV에서 선형종속이라면, f(\alpha_1), \ldots, f(\alpha_m)W에서 선형종속이다. (선형독립인 벡터들의 상이 항상 선형독립이지는 않다. f단사라면 성립한다.)

임의의 유한차원 벡터 공간에 정의되는 선형사상은, 유한 개의 기저의 상에 의해 유일하게 결정된다. V\alpha_1, \ldots, \alpha_n를 기저로 하는 n차원 벡터 공간이고, W\beta_1, \ldots, \beta_n을 원소로 포함하는 임의의 벡터 공간이라고 하자. 그러면 f(\alpha_i) = \beta_i인 선형사상 f: V \to W는 유일하게 존재한다.

만약 f,g: V \to W, h: W \to Z가 선형사상이라면, f + g, cf, h \circ f는 여전히 선형사상이다. V에서 W로의 선형사상들의 집합은 앞의 두 연산에 의해 새로운 벡터 공간 \operatorname{Hom}(V, W)를 이룬다. 선형변환이 이루는 벡터 공간 \operatorname{Hom}(V, V)는 합성 연산이 추가되어 대수를 이룬다.

행렬 표현[편집]

열벡터 공간 사이의 선형사상 x \mapsto Mx와 유사하게, 유한차원 벡터 공간 사이의 선형사상은 행렬로 표현 가능하다. V,W를 각각 F 위의 n,m 차원 벡터 공간, f: V \to W를 둘 사이의 선형사상, \mathcal{A} = \{\alpha_j\}_{j=1}^n, \mathcal{B} = \{\beta_i\}_{i=1}^m을 각각 V,W의 임의의 순서기저라고 하자. 그러면 ff(\alpha_j)들에 의해 결정되고, f(\alpha_j)들은 \beta_i들의 선형결합으로 유일하게 표현된다. 따라서 f

f(\alpha_j) = \sum_{i=1}^m M_{ij}\beta_i

을 만족하는 m × n 행렬 M = [M_{ij}]에 의해 결정된다. M\mathcal{A}, \mathcal{B}에 관한 f표현행렬이라고 하고, 때로 M = [f]_{\mathcal{A}, \mathcal{B}}로 표기한다.

선형사상과 표현행렬 간의 관계는, \operatorname{Hom}(V, W)F^{m\times n} 사이의 일대일 대응이다. 주의할 점은, 표현행렬이 기저의 선택과도 연관이 있다는 것이다.

선형사상의 작용규칙은 표현행렬을 통해 구체적으로 기술할 수 있다. 위의 예에서, 벡터 \alpha \in V\mathcal{A}에 관한 좌표가 (열벡터) x이라면, 상 f(\alpha) \in W\mathcal{B}에 관한 좌표는 Mx이다. 즉

[\alpha_1, \ldots, \alpha_n]\,x\ \overset{f}{\mapsto}\ [\beta_1, \ldots, \beta_m]\,Mx

선형사상 g: V \to W\mathcal{A}, \mathcal{B}에 관한 표현행렬이 N이면, c_1f + c_2g의 같은 기저에 관한 표현행렬은 c_1M + c_2N이다. 선형사상 h: W \to Z의 기저 \mathcal{B}, \mathcal{C}에 관한 표현행렬이 H라면, h \circ f\mathcal{A}, \mathcal{C}에 관한 표현행렬은 HM이다. 위 논증에 따라 \operatorname{Hom}(V,W)는 벡터 공간 F^{m \times n}과 동형이다. 선형변환의 경우, 표현행렬은 정사각행렬이며, 언급한 동형은 두 대수 간의 동형이다.

기저가 변경되면, 표현행렬도 바뀔 수 있다. V의 기저 \mathcal{A}가 행렬 P에 의해 \mathcal{A}'로, W의 기저 \mathcal{B}Q에 의해 \mathcal{B}'로 변경된다면, 선형사상 f의 표현행렬은 Q^{-1}MP로 변경된다. 이는 M동치인 행렬이다. 선형변환의 경우, 일반적으로 정의역과 공역의 기저를 같게 두며(\mathcal{A} = \mathcal{B}), 기저변경 후의 표현행렬은 M닮은 P^{-1}MP이다.

행렬 표현의 예[편집]

선형변환의 한 예로 n 차원 열벡터 \mathbf x, m차원 열벡터 \mathbf b, m \times n 행렬 A에 대해 A\mathbf{x=b}의 연산을 하는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이때 행렬 A는 선형변환을 정의한다.

선형변환은 앞의 예와 같이 벡터와 행렬의 곱의 연산으로 표현하는 경우가 많다.

다음은 행렬로 표현한 여러가지 2차원 선형변환의 예이다.

  • 시계 방향으로 90도 회전:
    A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}
  • 시계 방향(또는 반대방향)으로 \theta만큼 회전:
    A=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}
  • 시계 반대방향으로 90도 회전:
    A=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}
  • x 축에 대해 대칭 이동:
    A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}
  • 모든 방향에 대해 k배 크기 확대(k는 실수):
    A=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & k\end{bmatrix}
  • 찌그러트림 :
    A=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & r\end{bmatrix}
  • y 축에 사영 :
    A=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}