선형변환

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수학에서, 선형사상(線型寫像, linear map), 또는 선형변환(線型變換, linear transformation), 선형연산자(線型演算子, linear operator), 선형작용소(線型作用素)는, 벡터의 덧셈과 스칼라배 연산을 보존하는, 두 벡터 공간 사이의 함수이다.

정의[원본 편집]

위의 두 벡터 공간, 를 두 벡터 공간 사이의 사상이라고 하자. 만약

가 임의의 두 벡터 에 대해 성립하고,

가 임의의 스칼라 와 벡터 에 대해 성립한다면, 에서 로의 선형사상이라고 한다.

선형사상을 다르게는 임의의 선형결합을 보존하는 사상으로 정의한다. 즉 선형사상은 임의의 스칼라 과 벡터 에 대해,

인 사상이다. 더 간명한 정의법은, 항상

인 사상으로 정의하는 것이다.

일반적으로, 에서 자신으로의 선형사상을 선형변환(또는 선형연산자)이라고 하고, 에서 체 로의 선형사상을 선형형식(또는 선형범함수)이라고 한다.

[원본 편집]

  • 벡터 공간 의 모든 벡터를, 벡터 공간 영벡터로 대응시키는 는 (가장 간단한) 선형사상이다.
  • 벡터 공간 위의 항등사상은 선형사상이다.
  • 행렬 에 대해, 는 선형사상이다.
  • 3차원 유클리드 공간의 벡터에 대한 회전, 평행이동, 사영 등의 변환은 모두 선형변환이다.

성질[원본 편집]

만약 가 벡터 공간 에서 로의 선형사상이라면,

  • (즉 영원의 상은 영원이다)
  • 임의의 에 대해, (즉 역원의 상은 역원이다)
  • 에서 선형종속이라면, 에서 선형종속이다. (선형독립인 벡터들의 상이 항상 선형독립이지는 않다. 단사라면 성립한다.)

임의의 유한차원 벡터 공간에 정의되는 선형사상은, 유한 개의 기저의 상에 의해 유일하게 결정된다. 를 기저로 하는 차원 벡터 공간이고, 을 원소로 포함하는 임의의 벡터 공간이라고 하자. 그러면 인 선형사상 는 유일하게 존재한다.

만약 가 선형사상이라면, 는 여전히 선형사상이다. 에서 로의 선형사상들의 집합은 앞의 두 연산에 의해 새로운 벡터 공간 를 이룬다. 선형변환이 이루는 벡터 공간 는 합성 연산이 추가되어 대수를 이룬다.

행렬 표현[원본 편집]

열벡터 공간 사이의 선형사상 와 유사하게, 유한차원 벡터 공간 사이의 선형사상은 행렬로 표현 가능하다. 를 각각 위의 차원 벡터 공간, 를 둘 사이의 선형사상, 을 각각 의 임의의 순서기저라고 하자. 그러면 들에 의해 결정되고, 들은 들의 선형결합으로 유일하게 표현된다. 따라서

을 만족하는 m × n 행렬 에 의해 결정된다. 에 관한 표현행렬이라고 하고, 때로 로 표기한다.

선형사상과 표현행렬 간의 관계는, 사이의 일대일 대응이다. 주의할 점은, 표현행렬이 기저의 선택과도 연관이 있다는 것이다.

선형사상의 작용규칙은 표현행렬을 통해 구체적으로 기술할 수 있다. 위의 예에서, 벡터 에 관한 좌표가 (열벡터) 이라면, 상 에 관한 좌표는 이다. 즉

선형사상 에 관한 표현행렬이 이면, 의 같은 기저에 관한 표현행렬은 이다. 선형사상 의 기저 에 관한 표현행렬이 라면, 에 관한 표현행렬은 이다. 위 논증에 따라 는 벡터 공간 과 동형이다. 선형변환의 경우, 표현행렬은 정사각행렬이며, 언급한 동형은 두 대수 간의 동형이다.

기저가 변경되면, 표현행렬도 바뀔 수 있다. 의 기저 가 행렬 에 의해 로, 의 기저 에 의해 로 변경된다면, 선형사상 의 표현행렬은 로 변경된다. 이는 동치인 행렬이다. 선형변환의 경우, 일반적으로 정의역과 공역의 기저를 같게 두며(), 기저변경 후의 표현행렬은 닮은 이다.

행렬 표현의 예[원본 편집]

선형변환의 한 예로 차원 열벡터 , 차원 열벡터 , 행렬 에 대해 의 연산을 하는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이때 행렬 는 선형변환을 정의한다.

선형변환은 앞의 예와 같이 벡터와 행렬의 곱의 연산으로 표현하는 경우가 많다.

다음은 행렬로 표현한 여러가지 2차원 선형변환의 예이다.

  • 시계 방향으로 90도 회전:
  • 시계 방향(또는 반대방향)으로 만큼 회전:
  • 시계 반대방향으로 90도 회전:
  • x 축에 대해 대칭 이동:
  • 모든 방향에 대해 k배 크기 확대(k는 실수):
  • 찌그러트림 :
  • y 축에 사영 :