선형 변환

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선형대수학에서, 선형 변환(線型變換, 영어: linear transformation)은 선형 결합을 보존하는, 두 벡터 공간 사이의 함수이다.

정의[편집]

위의 두 벡터 공간 , 사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 선형 변환이라고 한다.

  • 다음 두 조건을 만족시킨다.
    • 임의의 두 벡터 에 대하여,
    • 임의의 스칼라 및 벡터 에 대하여,
  • 임의의 스칼라 및 두 벡터 에 대하여,
  • 임의의 자연수 및 스칼라들 및 벡터들 에 대하여,

특히, 정의역공역이 같은 선형 변환 위의 선형 변환이라고 한다. 벡터 공간과 그 체 사이의 선형 변환 선형 형식이라고 한다. 두 벡터 공간 , 사이의 선형 변환이 이루는 벡터 공간의 기호는 또는 이다. 벡터 공간 위의 선형 변환들이 이루는 단위 결합 대수의 기호는 또는 이다. 선형 변환은 선형 사상(線型寫像, 영어: linear map) 또는 선형 연산자(線型演算子, 영어: linear operator) 또는 선형 작용소(線型作用素)라고도 하며, 선형 형식은 선형 범함수(線型汎函數, 영어: linear functional)라고도 한다. 다만, 용어 '선형 연산자' · '선형 작용소' · '선형 범함수'는 보통 무한 차원 벡터 공간의 경우에 많이 쓰이며, 일부 문헌의 경우 일반적인 선형 변환을 '선형 사상', 정의역과 공역이 같은 선형 변환을 '선형 변환' 또는 '선형 연산자' 또는 '선형 작용소'라고 한다.

핵과 상[편집]

선형 변환 영벡터원상이다.

마찬가지로, 에 대한 이다.

선형 변환의 핵과 상은 각자 정의역과 공역의 부분 벡터 공간이다.

가역 선형 변환[편집]

선형 변환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 단사 선형 변환이라고 한다.

  • 단사 함수이다.
  • 모든 에 대하여,

마찬가지로, 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 전사 선형 변환이라고 한다.

  • 전사 함수이다.
  • 모든 에 대하여, 라면,

마찬가지로, 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가역 선형 변환(可逆線型變換, 영어: invertible linear transformation)이라고 한다.

  • 전단사 함수(=가역 함수)이다.
  • ,
  • 이며, 모든 기저 에 대하여, 는 기저이다.
  • 이며, 어떤 기저 에 대하여, 는 기저이다.

같은 유한 차원의 두 벡터 공간의 경우, 단사 선형 변환·전사 선형 변환·가역 선형이 서로 동치이다.

만약 두 벡터 공간 , 사이에 가역 선형 변환이 존재한다면, , 가 서로 동형이라고 한다.

행렬 표현[편집]

유한 차원 벡터 공간의 경우, 선형 변환의 행렬 표현이 존재한다. 다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

  • 위의 차원 벡터 공간 순서 기저
  • 위의 차원 벡터 공간 와 순서 기저

또한, 벡터 공간 속 벡터를 그 좌표로 대응시키는 (가역 선형) 변환을 다음과 같이 쓰자.

그렇다면, 기저 , 에 대한, 선형 변환 (표현) 행렬 은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는 (유일한) 위의 행렬이다.

    • 즉,
    • 즉,
  • 임의의 에 대하여,
    • 즉, 임의의 에 대하여,
    • 즉, 임의의 에 대하여,
    • 즉, 다음 그림이 가환한다.

성질[편집]

선형 변환에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

  • 선형 변환 에 대하여,
    • . 즉, 영원의 상은 영원이다.
    • . 즉, 역원의 상은 상의 역원이다.
  • 선형 변환은 정의역의 기저의 상에 의해 유일하게 결정된다. 즉, 유한 차원 벡터 공간 , 및 기저 및 원소 에 대하여, 인 선형 변환 는 유일하게 존재한다. 또한, 벡터 공간 , 및 기저 및 함수 에 대하여, 인 선형 변환 는 유일하게 존재한다.

선형 변환의 공간[편집]

선형 변환의 점별 덧셈·점별 스칼라 곱셈·합성·역함수에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

  • 스칼라 및 선형 변환 에 대하여, 는 선형 변환이다.
  • 선형 변환 , 에 대하여, 는 선형 변환이다.
  • 가역 선형 변환 에 대하여, 는 선형 변환이다.
  • 선형 변환 에 대하여, , .
  • 선형 변환 , 및 스칼라 에 대하여, .

선형 변환 집합 는 점별 덧셈·점별 스칼라 곱셈에 따라 벡터 공간을 이루며, 선형 변환 집합 는 점별 덧셈·점별 스칼라 곱셈·합성에 따라 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬 표현[편집]

유한 차원 벡터 공간의 경우, 선형 변환의 행렬 표현에 대하여, 다음 성질들이 성립한다. 세 유한 차원 벡터 공간과 각각의 기저 , , 가 주어졌을 때,

유한 차원 벡터 공간의 경우, 행렬 표현은 선형 변환 공간 와 행렬 공간 사이의 벡터 공간 동형이며, 선형 변환 공간 정사각 행렬 공간 사이의 단위 결합 대수 동형이다.

기저 변환[편집]

선형 변환의 행렬은 기저 변환에 따라 변화한다. 선형 변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬은 서로 동치 행렬이다. 벡터 공간 위의 선형 변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬은 서로 닮음 행렬이다. 구체적으로, 다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

  • 기저
  • 기저
  • (가역 선형) 기저 변환 , 및 그 행렬
  • (가역 선형) 기저 변환 , 및 그 행렬

그렇다면, 두 쌍의 기저에 대한 선형 변환 의 행렬

의 관계는 다음과 같다.

즉,

즉, 두 행렬은 서로 동치 행렬이다.

특히, 다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

  • 기저
  • (가역 선형) 기저 변환 , 및 그 행렬

그렇다면, 선형 변환 의 두 행렬

의 관계는 다음과 같다.

즉,

즉, 두 행렬은 서로 닮음 행렬이다.[1]

선형 변환의 종류[편집]

빨강색 숫자3에대한 회전행렬은 녹색, 파랑색은 닮음행렬,노랑색은 대칭행렬, 이러한 작업은 글꼴처리등 컴퓨터 그래픽에서 응용된다

선형 변환 , 즉 일차 변환은 임의의 행렬에 대해 좌표평면상에서 규칙적인 변형을 일으킬수있다. 따라서, 일차연립방정식은 임의의 행렬에서 좌표평면상에 규칙적인 정보를 을 일으킬수있다.

[편집]

및 그 위의 벡터 공간 , 가 주어졌을 때, 선형 변환의 예는 다음과 같다.

  • 항등 변환 , 는 선형 변환이다. (임의의 기저에 대한) 행렬 표현은 단위 행렬이다.
  • 스칼라 의 곱셈 , 는 선형 변환이다. (임의의 기저에 대한) 행렬 표현은 스칼라 행렬이다.
  • 모든 벡터를 영벡터로 대응시키는 변환 , 는 선형 변환이다. (임의의 기저에 대한) 행렬 표현은 영행렬이다.
  • 행렬 의 왼쪽 곱셈 , 는 선형 변환이다. 표준 기저에 대한 행렬 표현은 스스로다. 사실, 이는 , 사이의 선형 변환의 유일한 유형이다.

유클리드 공간[편집]

실수 집합 위의 선형 변환은 정비례 함수가 다다.

2차원 유클리드 공간 위의 선형 변환은 실수 2 × 2 행렬의 왼쪽 곱셈이 다다. 그 예는 다음과 같다.

선형 변환 (표준 기저에 대한) 행렬 표현 도해
시계 반대 방향 90도 회전 width=200
시계 반대 방향 135도 회전 135° rotation.svg
축에 대한 반사 X reflection.svg
모든 방향에서 2배 확대 2 scaling.svg
축에 대한 전단 X shearing.svg
쌍곡 회전(영어: hyperbolic rotation) 2 squeeze mapping.svg
축에 사영 Y projection.svg

참고 문헌[편집]

  1. Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

바깥 고리[편집]