행렬 곱셈

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행렬 곱셈(matrix multiplication)은 행렬에 대한 이항연산이다. 벡터의 선형결합 또는 선형사상의 합성 등의 의미를 부여할 수 있다.

정의[편집]

A, B를 각각 m × n, n × p 행렬이라고 하자. AB의 곱 AB는 다음과 같은 항을 갖는 m × p 행렬로 정의된다.

(\mathbf{AB})_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j} + \cdots + A_{in}B_{nj} = \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}

\mathbf{AB} = \begin{pmatrix}
\sum_{k=1}^n A_{1k}B_{k1} & \sum_{k=1}^n A_{1k}B_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^n A_{1k}B_{kp} \\
\sum_{k=1}^n A_{2k}B_{k1} & \sum_{k=1}^n A_{2k}B_{k1} & \cdots & \sum_{k=1}^n A_{2k}B_{kp} \\
\vdots                    & \vdots                    &        & \vdots                    \\
\sum_{k=1}^n A_{mk}B_{k1} & \sum_{k=1}^n A_{mk}B_{kp} & \cdots & \sum_{k=1}^n A_{mk}B_{kp}
\end{pmatrix}

앞의 행렬의 행의 수와 뒤의 행렬의 열의 수가 동일하지 않으면, 두 행렬의 곱은 정의되지 않는다.

[편집]

행렬 A=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}가 있을 때, 이 둘의 곱셈은 다음과 같다.

A \times B=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ac&ad\\bc&bd\end{bmatrix}
A^T \times B^T=\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix} \times  \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix} = ac + bd
B \times A=\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix} \times  \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} = ca + db
B^T \times A^T=\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix} \times  \begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ca&cb\\da&db\end{bmatrix}

행렬 A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}가 있을 때, 이 둘의 곱셈은 다음과 같다.

A \times B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{bmatrix}

성질[편집]

행렬 곱셈은 결합법칙이 성립한다:

(\mathbf{AB})\mathbf{C} = \mathbf{A}(\mathbf{BC})[증명 1]

각주[편집]

증명주[편집]

  1. 각각 m × n, n × p, p × q 행렬이라고 하자. 곱은 결합 방식에 상관없이 m × q 행렬이며,
    \scriptstyle ((\mathbf{AB})\mathbf{C})_{ij}
= \sum_{r=1}^p \left(\sum_{s=1}^n A_{is}B_{sr}\right)C_{rj}
= \sum_{s=1}^n A_{is}\left(\sum_{r=1}^p B_{sr}C_{rj}\right)
= (A(BC))_{ij}

참조주[편집]