계수 (선형대수학)

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선형대수학에서 어떤 행렬의 열계수(列階數, column rank)는 주어진 에서 선형독립벡터의 최대 개수이다. 마찬가지로 행계수(行階數, row rank)는 선형독립인 행 벡터의 최대 개수로 정의한다.

행렬에서 열계수와 행계수는 항상 같다(이 결과를 계수 정리라고 한다). 이에 따라 일반적으로 이 둘을 구분없이 A계수(階數, rank)라고 부른다. 행렬 A의 계수는 \operatorname{rk}(A), 혹은 \operatorname{rank}\ A로 표기한다.[1]

다른 정의[편집]

Fm \times n 행렬 A가 가질 수 있는 독립인 열의 최대 개수는 A열공간의 차원과 같다. 열계수는 행계수와도 같으므로 rank를 행렬 A행공간의 차원으로도 정의할 수 있다.

행렬 A를 다음과 같이 하나의 사상으로 볼 수 있다.

f:\, F^n \to F^m
f(\mathbf x) = A \mathbf x

이때 A의 계수는 상 f의 차원으로도 정의할 수 있다.

성질[편집]

A가 체 F 위에서 정의된 m \times n 행렬이고, 위와 같이 상 F를 정의한다고 하자.

  • 계수가 0인 행렬은 오직 영행렬 뿐이다.
  • A의 계수는 m이나 n보다 클 수 없다.
  • A의 계수가 n인 것은 f단사인 것과 같다.
  • A의 계수가 m인 것은 f전사인 것과 같다.
  • A가 정사각행렬이고 rank가 n인 것은 A역행렬을 갖는 것과 같다.
  • 임의의 n \times k 행렬 B에 대해 AB의 계수는 AB의 계수보다 클 수 없다.
  • n \times k 행렬 B의 계수가 n이면 AB의 계수는 A의 계수와 같다.
  • l \times m 행렬 C의 계수가 m이면 CA의 계수는 A의 계수와 같다.
  • A의 계수가 r이라는 것은 다음과 같은 성질을 만족하는 역행렬을 갖는 m \times m 행렬 Xn \times n 행렬 Y가 존재한다는 것과 같다.

  XAY =
  \begin{bmatrix}
    I_r & 0 \\
    0 & 0 \\
  \end{bmatrix}
I_rr \times r 단위행렬이다.
  • A의 계수와 영공간의 차원의 합은 행렬의 열 개수와 같다. (차원 정리)
  • (프로베니우스의 부등식) 만약 AB, ABC, BC가 정의된다면, \operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC).
  • (실베스터의 계수 부등식) 만약 A가 n열을 가지는 행렬이고 B가 n행을 가지는 행렬이면, \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B) \leq \operatorname{rank}(A) 이고 \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B) \leq \operatorname{rank}(B). [2]
    • 실베스터의 계수 부등식은 프로베니우스 부등식의 특수한 형태에서 얻을 수 있다.

계산법[편집]

A의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법은 가우스 소거법을 이용하는 것이다. 가우스 소거법을 행하여 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 보존된다. 이때 0이 아닌 행의 숫자가 곧 행렬의 계수가 된다.

예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬에서


  A =
  \begin{bmatrix}
    2 & 4 & 1 & 3 \\
    -1 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 2 & 2 \\
    3 & 6 & 2 & 5 \\
  \end{bmatrix}

첫 번째 열과 세 번째 열은 선형독립이지만, 두 번째 열은 첫 번째 열의 두배와 같고 네 번째 열은 첫 번째 열과 세 번째 열의 합과 같으므로 A의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.


  A =
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
  \end{bmatrix}

이때 0이 아닌 행이 두개임을 확인할 수 있다.

컴퓨터에서 부동소수점 연산을 행할 때 가우스 소거법은 부정확한 결과를 내놓을 확률이 높으므로, 특이값 분해를 통해 계수를 계산할 수 있다. 혹은 가우스 소거법보다 좀 더 안정적이고 특이값 분해보다는 빠른 QR 분해를 사용할 수도 있다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004, 495쪽.
  2. 같은 책, 494쪽.

참고 문헌[편집]

  • Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004