계수 (선형대수학)

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선형대수학에서, 선형 변환계수(階數, 영어: rank)는 선형 변환의 비(非) 퇴화 정도를 나타내는 기수이다. 기호는 또는 .[1]

정의[편집]

위의 벡터 공간 위의 선형 변환 계수 차원이다.

위의 행렬 계수 는 다음과 같은 여러 가지 정의를 가지며, 이들은 모두 서로 동치이다.

  • 열벡터의 왼쪽에 를 곱하는 선형 변환 의 계수. 즉, 열공간의 차원.
  • 행벡터의 오른쪽에 를 곱하는 선형 변환 의 계수. 즉, 행공간의 차원.
  • 열벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 열벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 열벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 일반적으로 유일하지 않다. 그러나 이러한 집합들의 원소 개수는 항상 같다.
  • 행벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 행벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 행벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 원소 개수는 항상 같다.
  • 0이 아닌 소행렬식의 최대 차수

성질[편집]

계수는 행렬의 여러 성질과 관련되며, 계수가 높을수록 행렬의 퇴화 정도가 덜하다. 체 위의 행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 영행렬이다.

또한, 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 단사 함수이다.

또한, 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 전사 함수이다.

특히, 행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 가역 행렬이다.

계수-퇴화차수 정리[편집]

위의 행렬 에 대하여, 다음의 계수-퇴화차수 정리(영어: rank-nullity inequality)가 성립한다.

항등식과 부등식[편집]

  • 행렬의 계수는 행의 수와 열의 수 이하이다. 즉, 체 위의 행렬 에 대하여, 다음이 성립한다.
  • 위의 행렬 에 대하여, 다음이 성립한다.
  • 위의 행렬 행렬 에 대하여, 다음이 성립한다.
  • 위의 행렬 행렬 에 대하여, 다음의 실베스터 부등식(영어: Sylvester's inequality)이 성립한다.[2]
  • 위의 행렬 행렬 행렬 에 대하여, 다음의 프로베니우스 부등식(영어: Frobenius' inequality)이 성립한다.
  • 실수체 위의 행렬 에 대하여, 다음이 성립한다.
  • 복소수체 위의 행렬 에 대하여, 다음이 성립한다.

[편집]

의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법은 가우스 소거법을 이용하는 것이다. 가우스 소거법을 행하여 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 보존된다. 이때 0이 아닌 행의 숫자가 곧 행렬의 계수가 된다.

예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬에서

첫 번째 열과 세 번째 열은 선형독립이지만, 두 번째 열은 첫 번째 열의 두 배와 같고 네 번째 열은 첫 번째 열과 세 번째 열의 합과 같으므로 의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이때 0이 아닌 행이 두개임을 확인할 수 있다.

컴퓨터에서 부동소수점 연산을 행할 때 가우스 소거법은 부정확한 결과를 내놓을 확률이 높으므로, 특이값 분해를 통해 계수를 계산할 수 있다. 혹은 가우스 소거법보다 좀 더 안정적이고 특이값 분해보다는 빠른 QR 분해를 사용할 수도 있다.

응용[편집]

동치 표준형[편집]

행렬의 동치 표준형은 그 계수에 따라 완전히 결정된다. 즉, 두 행렬이 동치일 필요충분조건은 계수가 같은 것이다. 체 위의 행렬 의 동치 표준형은 다음과 같다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004, 495쪽.
  2. 같은 책, 494쪽.

외부 링크[편집]