사영작용소

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선형대수학에서, 사영작용소(寫影作用素, 영어: projection operator)는 멱등 선형변환이다.

정의[편집]

V가 벡터공간이라고 하자. 선형변환 P\colon V\to VP^2=P를 만족시키면, 이를 사영작용소라고 한다.

분류[편집]

유한차원 벡터공간의 경우, 사영작용소들은 벡터공간의 부분벡터공간과 일대일 대응한다. 임의의 사영작용소 P\colon V\to V가 주어지면, 벡터공간은 P직합으로 나타내어진다. 즉,

V=\ker P\oplus P(V)

로 분해할 수 있다. 이에 따라, 임의의 a\oplus b\in\ker P\oplus P(V)에 대하여

P\colon a\oplus b\mapsto 0\oplus b

이다. 즉, P는 주어진 벡터를 그 P(V)\subset V에 사영하는 작용소로 생각할 수 있다.

성질[편집]

사영작용소 P행렬 지수 함수

\exp P=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}P^n=1+(e-1)P

이다.

사영작용소의 고윳값은 0 또는 1이다. 그 중복도는 각각 \dim\ker P, \dim P(V)이다.