직교 여공간

선형대수학에서 직교 여공간(直交餘空間, 영어: orthogonal complement)은 주어진 부분공간과 수직인 벡터들의 공간이다.

정의

내적 공간 $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$의 부분공간 $W\subset V$의 직교 여공간 $W^{\perp }\subset V$은 다음과 같은 부분공간이다.

$W^{\perp }=\{v\in V|\forall w\in W\colon \langle v,w\rangle =0\}$

성질

내적 공간 $V$의 부분공간 $W\subset V$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $W^{\perp }$는 닫힌 집합이다.
• $W^{\perp }\cap W=\{0\}$
• $W\subset W^{\perp \perp }$
• 만약 $W_{1}\subset W_{2}\subset V$라면, $W_{2}^{\perp }\supset W_{1}^{\perp }$이다.

만약 $V$가 힐베르트 공간이라면, 다음이 추가로 성립한다.

• $W\subset \operatorname {cl} (W)=W^{\perp \perp }$ ($\operatorname {cl}$은 폐포). 따라서 만약 $W$가 닫힌 집합이라면 $W=W^{\perp \perp }$이다.
• $W^{\perp }=(\operatorname {cl} W)^{\perp }=\operatorname {cl} (W^{\perp })$
• $V=\operatorname {cl} (W)\oplus W^{\perp }$

외부 링크

• “Complementation” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthogonal complement” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.