아인슈타인 표기법 (Einstein notation) 또는 아인슈타인의 합 규약 (Einstein summation convention)은 수학 의 선형대수학 을 물리학 에 응용하면서 좌표계에 관한 공식을 다룰 때 유용한 표기 규칙이다. 알베르트 아인슈타인 이 이 표기법을 1916년에 처음 소개하였다.
[1]
이 표기법에서, 한 항에 동일한 첨자가 윗첨자와 아랫첨자로 한 번씩 짝을 지어 나타날 경우, (마치 합의 기호가 항의 앞에 있을 때처럼) 해당 첨자가 가질 수 있는 모든 값에 대해 항의 값을 전부 더하는 것으로 이해한다. 여기에서 첨자는 보통 물리적 유클리드 공간 의 세 차원을 나타내는 1,2,3이나 시공간 혹은 민코프스키 공간 의 네 차원을 나타내는 0,1,2,3 혹은 1,2,3,4의 값을 취하나, 특정한 무한 집합 의 임의의 원소를 취할 수 있도록 놓는 경우도 있다.
아래와 같은 식을 생각해보자.
y
=
∑
i
=
1
3
c
i
x
i
=
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}}
매우 복잡해 보이는 식이지만 합의 기호를 사용하면 비교적 간단한 형태로 식을 바꿀 수 있다.
y
=
∑
i
=
1
n
c
i
x
i
{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}c_{i}x^{i}}
여기에 아인슈타인 표기법을 사용해 식을 더 간단하게 표현할 수 있다.
y
=
c
i
x
i
{\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,}
단, 여기서 위첨자가 지수승을 의미하지 않는다. (좀 더 정확히 말하면, 위첨자가 붙은 변수는 벡터 , 아래첨자가 붙은 변수는 코벡터 를 의미한다.) 이렇게, 아인슈타인 표기법에선 중복된 첨자를 이용해 마치 분수에서 약분을 하듯이 첨자에 대한 합을 해 첨자를 없애 합의 기호를 대체한다.
이 표기법으로 나타낸 연산자들 [ 편집 ] 임의의 1 × n 행벡터 ui 와 n × 1 열벡터 v i 에 대해 두 벡터 ui , v i 의 내적을 다음과 같이 표현할 수 있다.
u
i
v
i
=
u
1
v
1
+
u
2
v
2
+
.
.
.
+
u
n
v
n
{\displaystyle u_{i}v^{i}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}\,}
임의의 m × 1 열벡터 u i 와 1 × n 행벡터 v j 에 대해 두 벡터 u j , v i 의 외적 을 다음과 같이 표현할 수 있다.
u
i
v
j
=
A
j
i
{\displaystyle u^{i}v_{j}=A_{j}^{i}}
결과적으로, m × n 행렬 A 를 얻게 된다.
행렬과 벡터의 곱 [ 편집 ] 임의의 m × n 행렬 A i j 와 n × 1 열벡터 v j 가 주어졌을때,두 행렬의 곱의 결과를 u i 라 하면 이 곱을 다음과 같이 표현할 수 있다.
u
i
=
A
j
i
v
j
{\displaystyle u^{i}=A_{j}^{i}v^{j}}
임의의 n × n 행렬 A 의 대각합 tr(A )는 다음과 같이 표현할 수 있다.
tr
(
A
)
=
A
i
i
{\displaystyle {\textrm {tr}}(A)=A_{i}^{i}}
벡터의 좌표와 기저를 통한 표기 [ 편집 ] e 1 , e 2 와 e 3 를 3차원 공간의 기저 라 하자. 일반적인 표기법을 통해 벡터 u 를 표시하면,
u
=
u
1
e
1
+
u
2
e
2
+
u
3
e
3
=
∑
i
=
1
3
u
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {u} =u^{1}\mathbf {e} _{1}+u^{2}\mathbf {e} _{2}+u^{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}u^{i}\mathbf {e} _{i}}
이 된다. 이를 아인슈타인 표기법을 사용해 나타내면,
u
=
u
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}}
이다.
두 벡터 a = [a 1 , a 2 , … , a n b = [b 1 , b 2 , … , b n 텐서 방정식을 얻는다.
a
⋅
b
=
(
u
i
e
i
)
⋅
(
u
j
e
j
)
=
u
i
u
j
(
e
i
⋅
e
j
)
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(u^{i}\mathbf {e} _{i})\cdot (u^{j}\mathbf {e} _{j})=u^{i}u^{j}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j})}
여기서 기저의 성질에 의해
e
i
⋅
e
j
=
{
1
,
if
i
=
j
0
,
if
i
≠
j
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=j\\0,&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.}
임을 알 수 있다. 이 텐서를 크로네커 델타 δij 라 정의한다. 마지막으로 이 텐서를 이용해 스칼라곱을 표현하면 아래와 같은 식을 얻는다.
a
⋅
b
=
a
i
b
j
δ
i
j
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a^{i}b^{j}\delta _{ij}}
두 벡터 u = [u 1 , u 2 , u 3 v = [v 1 , v 2 , v 3 텐서 방정식을 얻는다.
u
×
v
=
(
u
j
e
j
)
×
(
v
k
e
k
)
=
u
j
v
k
(
e
j
×
e
k
)
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{j}\mathbf {e} _{j})\times (v^{k}\mathbf {e} _{k})=u^{j}v^{k}(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}
여기서 기저의 성질에 의해
e
j
×
e
k
=
ε
j
k
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{jk}^{i}\mathbf {e} _{i}}
ε
j
k
i
=
δ
i
l
ε
l
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{jk}^{i}=\delta ^{il}\varepsilon _{ljk}}
ε
i
j
k
=
{
+
1
if
(
i
,
j
,
k
)
is
(
1
,
2
,
3
)
,
(
3
,
1
,
2
)
or
(
2
,
3
,
1
)
,
−
1
if
(
i
,
j
,
k
)
is
(
3
,
2
,
1
)
,
(
1
,
3
,
2
)
or
(
2
,
1
,
3
)
,
0
otherwise:
i
=
j
or
j
=
k
or
k
=
i
,
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(3,1,2){\mbox{ or }}(2,3,1),\\-1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ or }}(2,1,3),\\0&{\mbox{otherwise: }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i,\end{cases}}}
임을 알 수 있다. 여기서 텐서 εijk 를 레비-시비타 기호 라 한다. 마지막으로 이 텐서를 이용해 벡터곱을 표현하면 아래와 같은 식을 얻는다.
u
×
v
=
ϵ
j
k
i
u
j
v
k
e
i
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{jk}^{i}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}}
참고 자료 [ 편집 ] 
