미적분학의 기본정리

적분과 부정적분의 관계

해석학에서 미적분학의 기본정리(微積分學의基本定理, fundamental theorem of calculus)는 미분과 적분을 서로 연관시키는 두 개의 정리이다. 미적분학의 기본정리와 증명을 제임스 그레고리(1638–1675)가 발표하였으며, 아이작 베로우(1630–1677)는 더욱 일반적인 경우를 증명하였다. 이 정리의 제안과 증명으로부터 적분과 미분이 통합된 미적분학이 창시되었다. 이후 아이작 베로우의 제자인 아이작 뉴턴과 독일의 라이프니츠가 미적분학 발전에 기여하였다.

미적분학의 제1 기본 정리는 미분과 적분이 서로 역연산관계에 있다는 정리이다. 이 정리는 관련이 없어 보이는 두 수학이 아주 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다.

미적분학의 제2 기본 정리는 정적분을 부정적분의 차로 간단히 계산할 수 있음을 말한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 리만 합의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 부정적분을 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.

기하학적 의미

}'A(x)}가 알려져 있으며, 이 영역은 정확히 }이다.A(x + h) - A(x). 이 두 값은 특히 작은 h에서 거의 동일하다.

그래프가 곡선으로 표시된 연속 함수 {{math|1="y" = "f"("x"")}의 경우, x의 각 값은 해당 영역 함수 {{math|"를 갖는다.0에서 x 사이의 곡선 아래의 영역을 나타내는 (x)}. 함수 {{math|}'A(x)}은 알 수 없지만, 곡선 아래의 면적을 나타내는 것으로 주어진다. {{mavar|x}와 {{math|'x}'+'h'} 사이의 곡선 아래의 면적은 {{math|0}과(와) {{math|0}와(와) 사이의 면적을 구한 다음 {{math|0}과(와) x 사이의 면적을 빼서 계산할 수 있다. 다시 말해, 이 "스트립"의 면적은 }가 될 것이다.A'(x + h) – A(x). 이 같은 스트립의 면적을 '추정'하는 또 다른 방법이 있다. 첨부된 그림에서 보이듯이, {{mvar|h}에 {{math|f(x)}을 곱하면 이 스트립과 거의 같은 크기의 직사각형의 면적을 구할 수 있다. 그래서: A(x+h)-A(x) \approx f(x) \cdoth 사실, 이 추정치는 도표에 표시된 "초과" 영역의 빨간색 부분을 더하면 완벽히 같다. 따라서:

$$A(x+h)-A(x)=f(x)\cdot h+({\text{Red Excess}})$$

재배열:

$$f(x)={\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}-{\frac {\text{Red Excess}}{h}}.$$

h가 함수|극한의 에서 0에 가까워짐에 따라, 마지막 분수는 0으로 가는 것을 보여줄 수 있다.이는 초과 영역의 빨간색 부분의 면적이, 작은 검은색 테두리의 직사각형 면적보다 작거나 같기 때문이다. 더 정확히 말하면 \left|f(x) - \frac{A(x+h)}{h}\right| = \frac{|\text{빨간 부분}|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) – f(x+h_2), 여기서 x+h_1와 x+h_2는 f가 각각 {{closed-closed|"x"}, "x" + "h"} 구간에서 최대와 최소에 도달하는 지점이다. f의 연속성에 의해 후자의 표현은 {{mvar|h}와 같이 0이 되는 경향이 있다. 따라서 왼쪽은 h과 같이 0이 되는 경향이 있으며, 이는 다음을 의미한다. 구문 분석 실패 (구문 오류): {\displaystyle f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h.} 이는 {{math|1="f"("x"') = "A"("x"")}} } 을 의미한다. 즉, 면적 함수 '의 도함수A(x)}가 존재하며 원시 함수 {{math|f(x)}이다. 함수의 도함수를 계산하고 함수의 곡선 아래 영역을 찾는 것은 "반대" 연산이다. 이것은 미적분학의 기본정리의 핵심이다.

제1 기본 정리

함수 $f$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이면, 함수 $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$는 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이며 열린구간 $(a,b)$에서 미분이 가능하고, 함수 $F$의 도함수는 $f$이다.

제1 기본 정리의 증명

함수 $F$에 미분의 정의를 바로 적용한다.

$x,x+h\in [a,b]$

일 때 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}F'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right]\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\end{aligned}}$

적분의 평균값 정리에 의해 $[x,x+h]$ 사이의 값 $c$에 대하여 다음이 성립한다.

${\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt=f(c)$

$h$가 작아짐에 따라 $x+h$는 $x$에 다가가고, 그러므로 $c$도 $x$에 다가간다.
함수 $f$는 주어진 구간에서 연속이므로 다음이 성립한다.

$\lim _{h\to 0}f(c)=f(x)$

따라서,

${\begin{aligned}F'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\\&=\lim _{h\to 0}f(c)\\&=f(x)\end{aligned}}$

이다.

제2 기본 정리

함수 $f$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이며, 함수 $F$가 $f$의 임의의 부정적분이면 다음이 성립한다.

$\int _{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$

제2 기본 정리의 증명

이 문서의 제1 기본 정리의 증명 참조

함수 $G$를 다음과 같이 정의하자.

$G(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

함수 $F$가 $f$의 임의의 부정적분이므로 다음이 성립한다.

$F(x)=G(x)+C$ (단, $C$는 상수)

함수 $F$와 $G$ 모두 $[a,b]$에서 연속이므로 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}F(b)-F(a)&=\left[G(b)+C\right]-\left[G(a)+C\right]\\&=G(b)-G(a)\\&=\int _{a}^{b}f(t)\,dt-\int _{a}^{a}f(t)\,dt\\&=\int _{a}^{b}f(t)\,dt-0\\&=\int _{a}^{b}f(t)\,dt\end{aligned}}$

같이 보기

• 지배 수렴 정리 : 르베그 적분을 이용할 경우 성립하는 이 정리를 이용해 미적분학의 기본정리를 일반화할 수 있다.
• 스토크스의 정리