미적분학의 기본정리

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해석학에서, 미적분학의 기본정리(微積分學의基本定理, fundamental theorem of calculus)는 미분적분을 서로 연관시키는 두 개의 정리이다.

미적분학의 제1 기본 정리는 미분과 적분이 서로 역연산관계에 있다는 정리이다. 미분은 접선 문제에서, 적분은 면적 문제로부터 출발했지만, 이 정리는 전혀 관련이 없어보이는 두 문제가 매우 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다.

미적분학의 제2 기본 정리정적분부정적분의 차로 간단히 계산할 수 있음을 말한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 리만 합의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 부정적분을 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.

제1 기본 정리[편집]

함수 닫힌 구간 에서 연속이면, 함수 닫힌 구간 에서 연속이며 열린 구간 에서 미분이 가능하고, 함수 도함수이다.

제1 기본 정리의 증명[편집]

함수 미분의 정의를 바로 적용한다.


일 때 다음이 성립한다.


적분의 평균값 정리에 의해 사이의 값 에 대하여 다음이 성립한다.


가 작아짐에 따라 에 다가가고, 그러므로 에 다가간다.
함수 는 주어진 구간에서 연속이므로 다음이 성립한다.


따라서,


이다.

제2 기본 정리[편집]

함수 닫힌 구간 에서 연속이며, 함수 의 임의의 부정적분이면 다음이 성립한다.

제2 기본 정리의 증명[편집]

이 문서의 제1 기본 정리의 증명 참조

함수 를 다음과 같이 정의하자.


함수 의 임의의 역도함수이므로 다음이 성립한다.

(단, 는 상수)

함수 모두 에서 연속이므로 다음이 성립한다.

같이 보기[편집]