비교판정법

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미적분학
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비교판정법(比較判定法, 영어: comparision test)은 무한급수수렴판정법으로, 급수의 각 항을 이미 수렴 여부가 알려진 급수와 비교하는 것을 통해 수렴 또는 발산을 추론한다.

서술[편집]

다음은 실수값 양항급수에 관한 비교판정법의 내용이다.[1]

  • \sum b_n수렴급수이고 0\le a_n\le b_n이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하면 \sum a_n도 수렴급수이다.
  • \sum b_n발산급수이고 0\le b_n\le a_n이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하면 \sum a_n도 발산급수이다.

여기서 큰 항을 가지는 급수는 때로 작은 항을 가지는 급수를 지배(또는 궁극적으로 지배, 영어: dominate, eventually dominate)한다고 한다.[2][3]

이는 절대수렴을 이용한 서술로 대신할 수 있다. 이러한 서술은 복소수를 항으로 갖는 급수에도 적용된다.[4]

  • \sum b_n가 절대수렴급수이고 |a_n|\le |b_n|이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하면 \sum a_n도 절대수렴급수이다.
  • \sum b_n가 절대수렴하지 않고 |b_n|\le |a_n|이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하면 \sum a_n도 절대수렴하지 않는다.

마지막 명제에서의 \sum a_n조건수렴일 수도, 아닐 수도 있다.

실수값 급수에 대해 위의 두 방식의 서술은 동치이다.

증명[편집]

위 네 개의 명제의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 세 번째 명제의 증명이다. 주어진 전제 하에 일반성을 잃지 않고 |a_n|\le |b_n|이 임의의 양수 n에 대해 성립한다고 하자. 부분합

S_n=|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|,\ T_n=|b_1|+|b_2|+\cdots+|b_n|

그리고 T_n의 극한 T에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

0\le S_n\le T_n\le T

첫 번째와 두 번째 부등호는 임의의 n에 대해 0\le|a_n|\le|b_n|인 것, 세번째 부등호는 T_n이 증가 수열인 것에 의한 것이다. 따라서 S_n은 유계인 단조수열이며 \sum a_n은 절대수렴한다.

이상적분[편집]

이상적분의 비교판정법은 다음과 같다. [a,b)_{b\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}}위의 실수값 연속함수 f,g수직점근선을 가질 때,[5]

  • 이상적분 \int_a^b g(x)\,dx이 수렴하고 임의의 x\in[a,b)에 대해 0\le f(x)\le g(x)이면 이상적분 \int_a^b f(x)\,dx도 수렴하며 \int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx가 성립한다.
  • 이상적분 \int_a^b g(x)\,dx이 발산하고 임의의 x\in[a,b)에 대해 0\le g(x)\le f(x)이면 이상적분 \int_a^b f(x)\,dx도 발산한다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Ayres & Mendelson (1999), p. 401.
  2. Munem & Foulis (1984), p. 662.
  3. 대한수학회, eventually, dominate.
  4. Silverman (1975), p. 119.
  5. Buck (1965), p. 140.

참고 문헌[편집]

  • Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). 《Schaum's Outline of Calculus》 (영어) 4판. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6. 
  • Buck, R. Creighton (1965). 《Advanced Calculus》 (영어) 2판. New York: McGraw-Hill. 
  • Knopp, Konrad (1956). 《Infinite Sequences and Series》 (영어). New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6. 
  • Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). 《Calculus with Analytic Geometry》 (영어) 2판. Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6. 
  • Silverman, Herb (1975). 《Complex Variables》 (영어). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판. Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.