비교판정법

연속 기획
미적분학
미적분학의 기본정리 함수의 극한 연속 함수 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의 미분 일반화 무한소 주요 부분 전미분 개념 미분 표기법 고계 도함수 변수 변환 테일러 정리 법칙과 항등식 합의 법칙 곱의 법칙 몫의 법칙 멱의 법칙 연쇄 법칙 역함수의 미분 음함수의 미분
적분 적분표 정의 부정적분 적분 (이상적분) 리만 적분 르베그 적분 경로적분 적분법 부분적분 디스크 방법 원통셸 방법 치환적분 (삼각치환법) 부분분수 적분법 적분 순서 재귀식 적분
수열과 급수 기하급수 (등차-등비 수열) 조화급수 교대급수 멱급수 이항급수 테일러 급수 수렴판정법 일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법
벡터 미적분학 기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수 벡터 미적분표 정리 발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈-스토크스 정리
다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬
특수한 경우 분수차 미적분 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법

비교판정법(比較判定法, comparision test)은 무한급수의 수렴판정법으로, 두 급수의 수렴성 간의 함의 관계를 항의 크기 비교를 통해 얻어낸다.

내용

다음은 실수값 양항급수에 관한 비교판정법의 내용이다.

• $\sum b_{n}$이 수렴급수이고 $0\leq a_{n}\leq b_{n}$이 충분히 큰 임의의 $n$에 대해 성립하면 $\sum a_{n}$도 수렴급수이다.
• $\sum b_{n}$이 발산급수이고 $0\leq b_{n}\leq a_{n}$이 충분히 큰 임의의 $n$에 대해 성립하면 $\sum a_{n}$도 발산급수이다.

때로는 큰 항을 가진 급수가 작은 항을 가진 급수를 (궁극적으로) 지배((eventually) dominate)한다고 한다.

이는 절대수렴을 이용한 서술로 대신할 수 있다. 이러한 서술은 복소수를 항으로 갖는 급수에도 적용된다.

• $\sum b_{n}$가 절대수렴급수이고 $|a_{n}|\leq |b_{n}|$이 충분히 큰 임의의 $n$에 대해 성립하면 $\sum a_{n}$도 절대수렴급수이다.
• $\sum b_{n}$가 절대수렴하지 않고 $|b_{n}|\leq |a_{n}|$이 충분히 큰 임의의 $n$에 대해 성립하면 $\sum a_{n}$도 절대수렴하지 않는다.

마지막 명제에서의 $\sum a_{n}$은 조건수렴일 수도, 아닐 수도 있다.

실수값 급수에 대해 위의 두 방식의 서술은 동치이다.

증명

위 네 개의 명제의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 세 번째 명제의 증명이다. 주어진 전제 하에 일반성을 잃지 않고 $|a_{n}|\leq |b_{n}|$이 임의의 양수 $n$에 대해 성립한다고 하자. 부분합

$S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$

$T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\cdots +|b_{n}|$

그리고 $T_{n}$의 극한 $T$에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

$0\leq S_{n}\leq T_{n}\leq T$

첫 번째와 두 번째 부등호는 임의의 $n$에 대해 $0\leq |a_{n}|\leq |b_{n}|$인 것, 세 번째 부등호는 $T_{n}$이 증가수열인 것에 의한 것이다. 따라서 $S_{n}$은 유계인 단조수열이며 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다.

유도되는 판정법

• 극한비교판정법
• 만약 $\sum b_{n}$이 수렴급수이고 ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$이 충분히 큰 임의의 $n$에 대해 성립하면, $\sum a_{n}$도 수렴급수이다.

이상적분

이상적분의 비교판정법은 다음과 같다. $[a,b)_{b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$위의 실수값 연속함수 $f,g$가 수직점근선을 가질 때,

• 이상적분 $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$이 수렴하고 임의의 $x\in [a,b)$에 대해 $0\leq f(x)\leq g(x)$이면 이상적분 $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$도 수렴하며 $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$가 성립한다.
• 이상적분 $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$이 발산하고 임의의 $x\in [a,b)$에 대해 $0\leq g(x)\leq f(x)$이면 이상적분 $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$도 발산한다.

같이 보기

• 수렴판정법
• 수렴
• 지배 수렴 정리
• 적분판정법
• 단조 수렴 정리

참고 문헌

• Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). 《Schaum's Outline of Calculus》 (영어) 4판. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6. 
• Buck, R. Creighton (1965). 《Advanced Calculus》 (영어) 2판. New York: McGraw-Hill. 
• Knopp, Konrad (1956). 《Infinite Sequences and Series》 (영어). New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6. 
• Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). 《Calculus with Analytic Geometry》 (영어) 2판. Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6. 
• Silverman, Herb (1975). 《Complex Variables》 (영어). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3. 
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판. Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.