비교판정법

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비교판정법(比較判定法, comparision test)은 무한급수수렴판정법으로, 두 급수의 수렴성 간의 함의 관계를 항의 크기 비교를 통해 얻어낸다.

내용[편집]

다음은 실수값 양항급수에 관한 비교판정법의 내용이다.[1]

  • 수렴급수이고 이 충분히 큰 임의의 에 대해 성립하면 도 수렴급수이다.
  • 발산급수이고 이 충분히 큰 임의의 에 대해 성립하면 도 발산급수이다.

때로는 큰 항을 가진 급수가 작은 항을 가진 급수를 (궁극적으로) 지배((eventually) dominate)한다고 한다.[2][3]

이는 절대수렴을 이용한 서술로 대신할 수 있다. 이러한 서술은 복소수를 항으로 갖는 급수에도 적용된다.[4]

  • 가 절대수렴급수이고 이 충분히 큰 임의의 에 대해 성립하면 도 절대수렴급수이다.
  • 가 절대수렴하지 않고 이 충분히 큰 임의의 에 대해 성립하면 도 절대수렴하지 않는다.

마지막 명제에서의 조건수렴일 수도, 아닐 수도 있다.

실수값 급수에 대해 위의 두 방식의 서술은 동치이다.

증명[편집]

위 네 개의 명제의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 세 번째 명제의 증명이다. 주어진 전제 하에 일반성을 잃지 않고 이 임의의 양수 에 대해 성립한다고 하자. 부분합

그리고 의 극한 에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

첫 번째와 두 번째 부등호는 임의의 에 대해 인 것, 세 번째 부등호는 이 증가 수열인 것에 의한 것이다. 따라서 은 유계인 단조수열이며 은 절대수렴한다.

유도되는 판정법[편집]

  • 극한비교판정법
  • 만약 이 수렴급수이고 이 충분히 큰 임의의 에 대해 성립하면, 도 수렴급수이다.

이상적분[편집]

이상적분의 비교판정법은 다음과 같다. 위의 실수값 연속함수 수직점근선을 가질 때,[5]

  • 이상적분 이 수렴하고 임의의 에 대해 이면 이상적분 도 수렴하며 가 성립한다.
  • 이상적분 이 발산하고 임의의 에 대해 이면 이상적분 도 발산한다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

참고 문헌[편집]

  • Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). 《Schaum's Outline of Calculus》 (영어) 4판. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6. 
  • Buck, R. Creighton (1965). 《Advanced Calculus》 (영어) 2판. New York: McGraw-Hill. 
  • Knopp, Konrad (1956). 《Infinite Sequences and Series》 (영어). New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6. 
  • Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). 《Calculus with Analytic Geometry》 (영어) 2판. Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6. 
  • Silverman, Herb (1975). 《Complex Variables》 (영어). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판. Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.