비교판정법

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비교판정법(比較判定法, comparison test)은 무한급수의 수렴판정법으로, 두 급수의 수렴성 간의 함의 관계를 항의 크기 비교를 통해 얻어낸다.

내용

다음은 실수값 양항급수에 관한 비교판정법의 내용이다.

• $\sum b_{n}$이 수렴급수이고 $0\leq a_{n}\leq b_{n}$이 충분히 큰 임의의 $n$에 대해 성립하면 $\sum a_{n}$도 수렴급수이다.
• $\sum b_{n}$이 발산급수이고 $0\leq b_{n}\leq a_{n}$이 충분히 큰 임의의 $n$에 대해 성립하면 $\sum a_{n}$도 발산급수이다.

때로는 큰 항을 가진 급수가 작은 항을 가진 급수를 (궁극적으로) 지배((eventually) dominate)한다고 한다.

이는 절대수렴을 이용한 서술로 대신할 수 있다. 이러한 서술은 복소수를 항으로 갖는 급수에도 적용된다.

• $\sum b_{n}$가 절대수렴급수이고 $|a_{n}|\leq |b_{n}|$이 충분히 큰 임의의 $n$에 대해 성립하면 $\sum a_{n}$도 절대수렴급수이다.
• $\sum b_{n}$가 절대수렴하지 않고 $|b_{n}|\leq |a_{n}|$이 충분히 큰 임의의 $n$에 대해 성립하면 $\sum a_{n}$도 절대수렴하지 않는다.

마지막 명제에서의 $\sum a_{n}$은 조건수렴일 수도, 아닐 수도 있다.

실수값 급수에 대해 위의 두 방식의 서술은 동치이다.

증명

위 네 개의 명제의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 세 번째 명제의 증명이다. 주어진 전제 하에 일반성을 잃지 않고 $|a_{n}|\leq |b_{n}|$이 임의의 양수 $n$에 대해 성립한다고 하자. 부분합

$S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$

$T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\cdots +|b_{n}|$

그리고 $T_{n}$의 극한 $T$에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

$0\leq S_{n}\leq T_{n}\leq T$

첫 번째와 두 번째 부등호는 임의의 $n$에 대해 $0\leq |a_{n}|\leq |b_{n}|$인 것, 세 번째 부등호는 $T_{n}$이 증가수열인 것에 의한 것이다. 따라서 $S_{n}$은 유계인 단조수열이며 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다.

유도되는 판정법

• 극한비교판정법
• 만약 $\sum b_{n}$이 수렴급수이고 ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$이 충분히 큰 임의의 $n$에 대해 성립하면, $\sum a_{n}$도 수렴급수이다.

이상적분

이상적분의 비교판정법은 다음과 같다. $[a,b)_{b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$위의 실수값 연속함수 $f,g$가 수직점근선을 가질 때,

• 이상적분 $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$이 수렴하고 임의의 $x\in [a,b)$에 대해 $0\leq f(x)\leq g(x)$이면 이상적분 $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$도 수렴하며 $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$가 성립한다.
• 이상적분 $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$이 발산하고 임의의 $x\in [a,b)$에 대해 $0\leq g(x)\leq f(x)$이면 이상적분 $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$도 발산한다.

같이 보기

• 수렴판정법
• 수렴
• 지배 수렴 정리
• 적분판정법
• 단조 수렴 정리

참고 문헌

• Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). 《Schaum's Outline of Calculus》 (영어) 4판. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6. 
• Buck, R. Creighton (1965). 《Advanced Calculus》 (영어) 2판. New York: McGraw-Hill. 
• Knopp, Konrad (1956). 《Infinite Sequences and Series》 (영어). New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6. 
• Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). 《Calculus with Analytic Geometry》 (영어) 2판. Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6. 
• Silverman, Herb (1975). 《Complex Variables》 (영어). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3. 
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판. Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.