미분소

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미분소(微分素)는 함수의 무한히 작은 변화값을 나타내는 무한소 값으로, \mathrm d y와 같이 나타낸다. 보통 함수의 변화값을 나타내는 기호로는 \Delta x, \delta x 등이 있지만, \mathrm d x는 무한히 작은 값을 의미한다는 점에서 이들과 구별된다.

예를 들어, yx에 대한 함수일 때, x의 변화량 \mathrm d xy의 변화량 \mathrm d y도함수에 의하여 관계 맺어진다.

\mathrm d y = \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} \mathrm d x

여기에서 \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}yx로 미분한 도함수이다. 이는 \frac{\Delta y}{\Delta x}\Delta x가 무한히 작아지면서 도함수가 된다는 생각을 내포한다.

미분소를 수학적으로 정의하는 방법에는 여러 가지가 있고, 이때 미분소는 일반적인 실수 범위의 수는 아니며, 선형 변환, 비표준해석학, 멱영원 등의 방법으로 정의할 수 있다.

곡선의 길이와 미분소[편집]

유클리드 공간 \mathbb{R}^3에 존재하는 위상수학 \mathbf{c}\left( t\right) =x\left( t\right)\mathbf{i}+y\left( t\right)\mathbf{j}+z\left( t\right)\mathbf{k}를 따라 운동하는 물체의 무한소 변위는 다음과 같다.

d\mathbf{s}=dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j}+dz\mathbf{k}=\left(\frac{dx}{dt}\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\mathbf{k}\right) dt

그리고 그 길이

ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt

곡선길이의 미분소라고한다.

이 개념을 이용하면 곡선의 길이를 다음과 같이 아주 간단하게 나타낼 수 있다.

\int_{t_0}^{t_1}ds

참고 문헌[편집]

  • Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.