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등비수열 (等比數列, 문화어 :영어 : geometric sequence ) 또는 기하수열 (幾何數列)은 각 항이 초항(first term)과 일정한 비를 가지는 수열 을 말하며, 일정한 비를 공비 (共比, common ratio)라고 한다.
초항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.
a
,
a
r
,
a
r
2
,
a
r
3
,
⋯
{\displaystyle a,ar,ar^{2},ar^{3},\cdots }
등비수열의 예 [ 편집 ] 첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ... 즉 1, 1*2, 1*22 , 1*23 ...이다. 첫항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.
729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ... 첫항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.
3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, ... 기본적 성질 [ 편집 ] 첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.
a
n
=
a
r
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}\;}
등비수열은 다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.
a
n
r
=
a
n
+
1
{\displaystyle a_{n}r=a_{n+1}}
이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.
등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가
양수 이면, 모든 항 은 첫항과 같은 부호 를 가진다.음수 이면, 계속 부호 가 번갈아 가며 나타난다.1보다 크면, 양의 무한대 를 향해 지수적으로 증가한다.
1이면, 모든 항 의 값이 같아진다.
−1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다.
−1이면, 모든 항 의 절댓값 은 같지만, 부호 가 계속 번갈아 가며 나타난다.
0이면, 첫항을 제외한 모든 항이 0이 된다. 등비수열은(공비가 −1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열 과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 이 두 수열은 관계가 전혀 없어 보이지만, 등차수열 에 거듭제곱 을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그 를 취하면 등차수열 이 되는 관계를 가지고 있다.
등비중항 [ 편집 ] 0이 아닌 세 수
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
등비중항 이라 한다.
따라서 세 수
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
b
a
=
c
b
=
r
{\displaystyle {\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}=r}
b
2
=
a
c
{\displaystyle b^{2}=ac}
또
b
2
=
a
c
{\displaystyle b^{2}=ac}
b
=
±
a
c
{\displaystyle b=\pm {\sqrt {ac}}}
b
=
±
a
c
{\displaystyle b=\pm {\sqrt {ac}}}
합 구하기 [ 편집 ] 초항부터
n
{\displaystyle n}
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle {\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
a
(
r
n
−
1
)
r
−
1
{\displaystyle {\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}}
단,
r
=
1
{\displaystyle r=1}
n
a
{\displaystyle na}
r
≠
1
{\displaystyle r\neq 1}
S
n
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
.
.
.
+
a
r
n
−
1
{\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}}
양변에
r
{\displaystyle r}
r
S
n
=
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
.
.
.
+
a
r
n
−
1
+
a
r
n
{\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}+ar^{n}}
위 두 식을 빼면
(
1
−
r
)
S
n
=
a
−
a
r
n
{\displaystyle (1-r)S_{n}=a-ar^{n}}
r
≠
1
{\displaystyle r\neq 1}
S
n
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
등비급수 [ 편집 ]
a
1
{\displaystyle a_{1}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
등비급수 (문화어 :영어 : geometric series ) 또는 기하급수
S
n
{\displaystyle S_{n}}
S
n
=
a
+
a
r
1
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
−
1
{\displaystyle S_{n}=a+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}}
=
a
(
1
+
r
1
+
r
2
+
⋯
+
r
n
−
1
)
{\displaystyle =a(1+r^{1}+r^{2}+\cdots +r^{n-1})}
여기에서
r
{\displaystyle r}
S
n
=
a
(
1
+
r
1
+
r
2
+
⋯
+
r
n
−
1
)
(
r
−
1
)
r
−
1
{\displaystyle S_{n}=a{\frac {(1+r^{1}+r^{2}+\cdots +r^{n-1})(r-1)}{r-1}}}
=
a
r
n
−
1
r
−
1
=
a
1
−
r
n
1
−
r
{\displaystyle =a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}}
무한등비급수 [ 편집 ] 무한등비급수 는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 것이며, 그 합은 다음과 같다.
∑
k
=
0
∞
a
r
k
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
0
n
−
1
a
r
k
=
lim
n
→
∞
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
=
a
1
−
r
(
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}(}
|
r
|
<
1
{\displaystyle |r|<1}
같이 보기 [ 편집 ] 외부 링크 [ 편집 ] 
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