부분적분

미적분학
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미적분학에서 부분적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 함수의 곱의 적분을 구하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 미분의 곱규칙으로부터 유도할 수 있다.

내용

연속 미분 가능한 두 함수 $u,v:[a,b]\to \mathbb {R}$$u,v:[a,b]\to \mathbb {R}$에 대하여, 곱규칙에 따라 다음이 성립한다.

$d(uv)=v\,du+u\,dv$$d(uv)=v\,du+u\,dv$

양변에 적분을 취하면 다음과 같다.

$\int _{a}^{b}d(uv)=\int _{a}^{b}v\,du+\int _{a}^{b}u\,dv$$\int _{a}^{b}d(uv)=\int _{a}^{b}v\,du+\int _{a}^{b}u\,dv$

따라서 미적분학의 기본정리에 의하여 다음을 얻는다.

$[uv]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}v\,du+\int _{a}^{b}u\,dv$$[uv]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}v\,du+\int _{a}^{b}u\,dv$

즉

$\int _{a}^{b}u\,dv=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,du$$\int _{a}^{b}u\,dv=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,du$

이때, $[uv]_{a}^{b}$$[uv]_{a}^{b}$는 $u(b)v(b)-u(a)v(a)$$u(b)v(b)-u(a)v(a)$를 나타낸다.

부정적분의 경우, 연속 미분 가능한 두 함수 $u,v:I\to \mathbb {R}$$u,v:I\to \mathbb {R}$에 대하여, 위와 비슷한 논증에 의해 다음이 성립한다.

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

서로 조금씩 다른 아래의 표현들이 사용되기도 한다.

• $\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx$$\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx$
• $\int fg\,dx=f(\int g\,dx)-\int \left(f'\int g\,dx\right)\,dx$$\int fg\,dx=f(\int g\,dx)-\int \left(f'\int g\,dx\right)\,dx$

예

xcosx의 적분

다음 식을 적분한다.

$\int x\cos x\,dx$$\int x\cos x \,dx$

이때, $u=x,\ du=dx;\quad dv=\cos x\,dx,\ v=\sin x$$u=x,\ du=dx;\quad dv=\cos x\,dx,\ v=\sin x$와 같이 가정하면

$\int x\cos x\,dx$$\int x\cos x \,dx$	$=\int u\,dv$$=\int u\,dv$
	$=uv-\int v\,du$$= uv - \int v \,du$

가 되어,

$\int x\cos x\,dx$$\int x\cos x \,dx$	$=x\sin x-\int \sin x\,dx$$=x\sin x-\int \sin x\,dx$
	$=x\sin x+\cos x+C$$=x\sin x+\cos x+C$

와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, $C$$C$는 적분 상수이다.

e^xcosx 의 적분

$\int e^{x}\cos x\,dx$$\int e^{x} \cos x \,dx$

이 경우는 부분적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.

$u=\cos x,\ u'=-\sin x$$u=\cos x,\ u'=-\sin x$

$v'=e^{x},\ v=e^{x}$$v'=e^{x},\ v=e^{x}$

이때,

$\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx$$\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx$

이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.

$u=\sin x,\ u'=\cos x$$u=\sin x,\ u'=\cos x$

$v'=e^{x},\ v=e^{x}$$v'=e^{x},\ v=e^{x}$

그러면,

$\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx$$\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx$

이므로, 함께 적으면,

$\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx$$\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos x + e^x \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx$

임을 알 수 있다. 자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 보내면,

$2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}(\sin x+\cos x)+C$$2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}(\sin x+\cos x)+C$

이고, 2로 나눠

$\int e^{x}\cos x\,dx={e^{x}(\sin x+\cos x) \over 2}+C$$\int e^{x}\cos x\,dx={e^{x}(\sin x+\cos x) \over 2}+C$

와 같은 결과를 얻을 수 있다.

lnx, arctanx의 적분

또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 $x$$x$를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는,

$\int \ln x\,dx$$\int \ln x \,dx$

이다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\int (\ln x)\cdot 1\,dx$$\int (\ln x) \cdot 1 \,dx$

다음과 같이 가정하자.

$u=\ln x,\ du={\frac {1}{x}}dx$$u=\ln x,\ du={\frac {1}{x}}dx$

$dv=1\cdot dx,\ v=x$$dv=1\cdot dx,\ v=x$

그러면, 다음을 얻는다.

$\int \ln x\,dx$$\int \ln x \,dx$	$=x\ln x-\int x\cdot {\frac {1}{x}}\,dx$$=x\ln x-\int x\cdot {\frac {1}{x}}\,dx$
	$=x\ln x-\int 1\,dx$$= x \ln x - \int 1 \,dx$
	$=x\ln x-{x}+{C}$$=x\ln x-{x}+{C}$

이 식에서 $C$$C$는 적분 상수이다.

두 번째 예는 역탄젠트 함수의 적분

$\int \arctan x\,dx$$\int \arctan x \,dx$

이다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\int 1\cdot \arctan x\,dx$$\int 1 \cdot \arctan x \,dx$

다음과 같이 가정하자.

$u=\arctan x,\ du={\frac {1}{1+x^{2}}}dx$$u=\arctan x,\ du={\frac {1}{1+x^{2}}}dx$

$dv=1\cdot dx,\ v=x$$dv=1\cdot dx,\ v=x$

그러면,

$\int \arctan x\,dx$$\int \arctan x \,dx$	$=x\arctan x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx$$=x\arctan x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx$
	$=x\arctan x-{1 \over 2}\ln \left(1+x^{2}\right)+C$$= x \arctan x - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C$

임을 확인 할 수 있다.

요령

부분적분은 적분을 하는 데 있어 기계적인 풀이라기 보다는 좀 더 발견적에 가깝다. 그런 의미에서 피적분함수를 어느 두 함수의 곱으로 분해할지, 즉 $u$$u$와 $v'$$v'$를 어떻게 선택할지는 중요하다. 부분적분 공식

$\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx$$\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx$

중 좌변의 $u$$u$는 우변에서 그의 미분인 $u'$$u'$로 나타난다. 마찬가지로 좌에서 우의 방향으로 보면 $v'$$v'$는 그의 적분인 $v$$v$로 바뀐다. 이로부터 $u$$u$의 미분 또는 $v'$$v'$의 적분이 간단해지게끔 피적분함수를 분해하는 것이 유리하다는 결론이 나온다. 그 예로

$\int {\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx$$\int {\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx$

에서 $\ln x$$\ln x$는 그의 미분이 적분보다 간단하므로, 이를 $u$$u$로 취하여 부분적분을 시도해 보면 원래 적분은 아래와 같이 단순화된다.

$\int {\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln x}{x}}-\int \left({\frac {1}{x}}\right)\left(-{\frac {1}{x}}\right)\,dx$$\int {\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln x}{x}}-\int \left({\frac {1}{x}}\right)\left(-{\frac {1}{x}}\right)\,dx$

$u$$u$의 미분과 $v'$$v'$의 적분의 곱 $u'v$$u'v$가 간단하도록 하는 방식도 취할 만하다. 예를 들어

$\int \sec ^{2}x\ln |\sin x|\,dx$$\int \sec ^{2}x\ln |\sin x|\,dx$

에서 $u=\ln |\sin x|$$u=\ln |\sin x|$, $v'=\sec ^{2}x$$v'=\sec ^{2}x$를 취하면 원래 적분은 아래와 같이 단순화된다.

$\int \sec ^{2}x\ln |\sin x|\,dx=\tan x\ln |\sin x|-\int \tan x{\frac {1}{\tan x}}\,dx$$\int \sec ^{2}x\ln |\sin x|\,dx=\tan x\ln |\sin x|-\int \tan x{\frac {1}{\tan x}}\,dx$

부분적분이 적분을 단순화해야지만 의미가 있는 것은 아니다. 수치해석학에서 사용될 경우, 적분항이 오차항의 기능을 할 정도로 충분이 작으면 된다.

LIATE 법칙

브래들리 대학의 Herbert Kasube가 제안한 LIATE 법칙, 즉 아래의 순서에서 가장 먼저 일치하는 함수를 $u$$u$에 대입하는 방식은 유용하다.

L	Logarithmic functions	로그 함수	lnx, logbx 등
I	Inverse trigonometric functions	역삼각함수	arctanx, arcsecx 등
A	Algebraic functions	대수적 함수	x2, 3x50 등
T	Trigonometric functions	삼각 함수	sinx, tanx 등
E	Exponential functions	지수 함수	ex, 19x 등

$u$$u$를 대입한 후 남은 함수는 $v'$$v'$에 대입한다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다.

위에서 $\int x\cos x\,dx$$\int x\cos x\,dx$를 구할 때, $u=x$$u=x$를 취한 것이 그 예이다. 만약 반대로 $u=\cos x$$u=\cos x$를 취하면 결과는 아래처럼 더 복잡해진다.

$\int x\cos x\,dx={\frac {x^{2}}{2}}\cos x+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin x\,dx$$\int x\cos x\,dx={\frac {x^{2}}{2}}\cos x+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin x\,dx$

LIATE 법칙이 항상 옳은 것은 아니다. 때로는 ILATE 순이 더 적절한 방식이다. 또 아래와 같이 그리 명백하지 않은 방식으로 두 함수를 분해해야 하는 경우도 있다.

$\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx$$\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx$	$=\int (x^{2})(xe^{x^{2}})\,dx$$=\int (x^{2})(xe^{x^{2}})\,dx$
	$=\int (x^{2})\,d\left({\frac {1}{2}}e^{x^{2}}\right)$$=\int (x^{2})\,d\left({\frac {1}{2}}e^{x^{2}}\right)$
	$={\frac {1}{2}}x^{2}e^{x^{2}}-\int xe^{x^{2}}\,dx$$={\frac {1}{2}}x^{2}e^{x^{2}}-\int xe^{x^{2}}\,dx$
	$={\frac {1}{2}}e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C$$={\frac {1}{2}}e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C$

다른 응용

부분적분은 때로 해석학 정리의 증명에 사용된다. 아래는 몇 가지 예이다.

특수함수

이상 적분으로 정의된 특수 함수인 감마 함수가 계승의 확장이라는 것을 다음과 같이 부분적분을 이용하여 보일 수 있다.

$\Gamma (t)$$\Gamma (t)$	$=\int _{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x}\,dx$$=\int _{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x}\,dx$
	$=-\int _{0}^{\infty }x^{t-1}\,d(e^{-x})$$=-\int _{0}^{\infty }x^{t-1}\,d(e^{-x})$
	$=-[x^{t-1}e^{-x}]_{0}^{\infty }+(t-1)\int x^{t-2}e^{-x}\,dx$$=-[x^{t-1}e^{-x}]_{0}^{\infty }+(t-1)\int x^{t-2}e^{-x}\,dx$
	$=(t-1)\Gamma (t-1)$$=(t-1)\Gamma (t-1)$

정수 $t$$t$에 대해 이 점화식을 쓰면 다음을 얻는다.

$\Gamma (t)=(t-1)!$$\Gamma (t)=(t-1)!$

같이 보기

• 아벨 변환
• 아벨의 합 공식