부분적분

미적분학에서 부분 적분은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 이 방법은 미분의 곱셈 법칙에서 유도할 수 있다.

법칙

두 미분가능한 연속 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대해서, 적분 구간이 $[a, b]$ 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx$

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.

$\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).$

이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.

$f(b)g(b) - f(a)g(a)\,$	$= \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx$
	$=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx$

부정적분의 경우에는 다음과 같다.

$\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x)\,dx$

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.

$\int u\,dv = u v - \int v\,du$

여기서, $u = f(x),\ v = g(x)$이고, $du = f'(x) dx,\ dv = g'(x) dx$이다.

예제

x cos x의 적분

다음 식을 적분한다.

$\int x\cos x \,dx$

이때, $u = x,\ du = dx,\ dv = \cos x \, dx,\ v = \sin x$와 같이 가정하면

$\int x\cos x \,dx$	$= \int u \,dv$
	$= uv - \int v \,du$

가 되어,

$\int x\cos x \,dx = x\sin x - \int \sin x \,dx$

$\int x\cos x \,dx = x\sin x + \cos x + C$

와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, $C$는 적분 상수이다.

e^x cos x 의 적분

$\int e^{x} \cos x \,dx$

이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.

$u = \cos x, du = -\sin x \, dx$

$dv = e^x dx,\ v = e^x$

이때,

$\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin x \,dx$

이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.

$u = \sin x\;;\ du = \cos x \, dx$

$v = e^x\;;\ dv = e^x dx$

그러면,

$\int e^{x} \sin x \,dx$

$= e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx$

이므로, 함께 적으면,

$\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos x + e^x \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx$

임을 알 수 있다.

자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,

$2 \int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} ( \sin x + \cos x )$

이고, 2로 나눠

$\int e^{x} \cos x \,dx = {e^{x} ( \sin x + \cos x ) \over 2}$

와 같은 결과를 얻을 수 있다.

ln x 의 적분

또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 $x$를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는, $\int \ln x \,dx$ 이다.

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\int (\ln x) \cdot 1 \,dx$

다음과 같이 가정하면,

$u = \ln x\;;\ du = \frac 1 x dx$

$v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx$

$\int \ln x \,dx$	$= x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx$
	$= x \ln x - \int 1 \,dx$

$\int \ln x \,dx = x \ln x - {x} + {C}$

$\int \ln x \,dx = x ( \ln x - 1 ) + C$

이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.

arctan x의 적분

두 번째 예는 $\int \arctan x \,dx$이다. 여기서 $\arctan$ 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\int 1 \cdot \arctan x \,dx$

다음과 같이 가정하면,

$u = \arctan x\;;\ du = \frac 1 {1+x^2} dx$

$v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx$

$\int \arctan x \,dx$	$= x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx$
	$= x \arctan x - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C$

임을 확인 할 수 있다.

문제 해결의 전략

부분적분은 적분을 하는 데 있어 기계적인 풀이라기 보다는 좀 더 발견적(heuristic)에 가깝다. 그러므로 적분을 하려는 두 함수 중 어떤 것을 $u$와 $dv$에 각각 대입할지를 선택하는 것이 중요하다. 이를 선택할 때 유용한 방법이 LIATE 법칙이다. 아래의 순서에서 먼저 일치하는 함수를 $u$에 대입한다.

L: 로그 함수 (Logarithmic)

I: 역 삼각함수 (Inverse trigonometric)

A: 대수적 함수 (Algebraic)

T: 삼각 함수 (Trigonometric)

E: 지수 함수 (Exponential)

$u$를 대입한 후 남은 함수는 $dv$에 대입한다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다. 브래들리 대학의 Herbert Kasube가 LIATE 법칙을 제안하였다고 한다.

같이 보기

• 아벨 변환
• 아벨의 합 공식