부분적분

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미적분학에서 부분적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 함수의 곱의 적분을 구하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 미분곱규칙으로부터 유도할 수 있다.

내용[편집]

연속 미분 가능한 두 함수 u,v : [a,b] \to \R에 대하여, 곱규칙에 따라 다음이 성립한다.

d(uv) = v \,du + u \,dv

양변에 적분을 취하면 다음과 같다.

\int_a^b d(uv) = \int_a^b v \,du + \int_a^b u \,dv

따라서 미적분학의 기본정리에 의하여 다음을 얻는다.

[uv]_a^b = \int_a^b v \,du + \int_a^b u \,dv

\int_a^b u \,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \,du

이때, [uv]_a^bu(b)v(b) - u(a)v(a)를 나타낸다.

부정적분의 경우, 연속 미분 가능한 두 함수 u,v : I \to \R에 대하여, 위와 비슷한 논증에 의해 다음이 성립한다.

\int u \,dv = uv - \int v \,du

서로 조금씩 다른 아래의 표현들이 사용되기도 한다.

  • \int uv' \,dx = uv - \int u'v \,dx
  • \int fg \,dx = f(\int g \,dx) - \int \left( f' \int g \,dx \right) \,dx

[편집]

xcosx의 적분[편집]

다음 식을 적분한다.

\int x\cos x \,dx

이때, u = x,\ du = dx; \quad dv = \cos x \, dx,\ v = \sin x와 같이 가정하면

\int x\cos x \,dx = \int u \,dv
= uv - \int v \,du

가 되어,

\int x\cos x \,dx = x\sin x - \int \sin x \,dx
= x\sin x + \cos x + C

와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, C적분 상수이다.

excosx 의 적분[편집]

\int e^{x} \cos x \,dx

이 경우는 부분적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.

u = \cos x,\ u' = -\sin x
v' = e^x,\ v = e^x

이때,

\int e^x \cos x \,dx = e^x \cos x + \int e^{x} \sin x \,dx

이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.

u = \sin x,\ u' = \cos x
v' = e^x,\ v = e^x

그러면,

\int e^x \sin x \,dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \,dx

이므로, 함께 적으면,

\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos x + e^x \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx

임을 알 수 있다. 자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 보내면,

2 \int e^x \cos x \,dx = e^x ( \sin x + \cos x ) + C

이고, 2로 나눠

\int e^x \cos x \,dx = {e^x ( \sin x + \cos x ) \over 2} + C

와 같은 결과를 얻을 수 있다.

lnx, arctanx의 적분[편집]

또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 x를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는,

\int \ln x \,dx

이다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int (\ln x) \cdot 1 \,dx

다음과 같이 가정하자.

u = \ln x,\ du = \frac 1 x dx
dv = 1 \cdot dx,\ v = x

그러면, 다음을 얻는다.

\int \ln x \,dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \,dx
= x \ln x - \int 1 \,dx
= x \ln x - {x} + {C}

이 식에서 C는 적분 상수이다.

두 번째 예는 역탄젠트 함수의 적분

\int \arctan x \,dx

이다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int 1 \cdot \arctan x \,dx

다음과 같이 가정하자.

u = \arctan x,\ du = \frac 1 {1+x^2} dx
dv = 1 \cdot dx,\ v = x

그러면,

\int \arctan x \,dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx
= x \arctan x - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C

임을 확인 할 수 있다.

요령[편집]

부분적분은 적분을 하는 데 있어 기계적인 풀이라기 보다는 좀 더 발견적에 가깝다. 그런 의미에서 피적분함수를 어느 두 함수의 곱으로 분해할지, 즉 uv'를 어떻게 선택할지는 중요하다. 부분적분 공식

\int uv' \,dx = uv - \int u'v \,dx

중 좌변의 u는 우변에서 그의 미분인 u'로 나타난다. 마찬가지로 좌에서 우의 방향으로 보면 v'는 그의 적분인 v로 바뀐다. 이로부터 u의 미분 또는 v'의 적분이 간단해지게끔 피적분함수를 분해하는 것이 유리하다는 결론이 나온다. 그 예로

\int \frac{\ln x}{x^2} \,dx

에서 \ln x는 그의 미분이 적분보다 간단하므로, 이를 u로 취하여 부분적분을 시도해 보면 원래 적분은 아래와 같이 단순화된다.

\int \frac{\ln x}{x^2} \,dx = - \frac{\ln x}{x} - \int \left( \frac{1}{x} \right) \left( - \frac{1}{x} \right) \,dx

u의 미분과 v'의 적분의 곱 u'v가 간단하도록 하는 방식도 취할 만하다. 예를 들어

\int \sec^2 x \ln |\sin x| \,dx

에서 u = \ln |\sin x|, v' = \sec^2 x를 취하면 원래 적분은 아래와 같이 단순화된다.

\int \sec^2 x \ln |\sin x| \,dx = \tan x \ln |\sin x| - \int \tan x \frac{1}{\tan x} \,dx

부분적분이 적분을 단순화해야지만 의미가 있는 것은 아니다. 수치해석학에서 사용될 경우, 적분항이 오차항의 기능을 할 정도로 충분이 작으면 된다.

LIATE 법칙[편집]

브래들리 대학의 Herbert Kasube가 제안한 LIATE 법칙, 즉 아래의 순서에서 가장 먼저 일치하는 함수를 u에 대입하는 방식은 유용하다.

L Logarithmic functions 로그 함수 lnx, logbx
I Inverse trigonometric functions 역삼각함수 arctanx, arcsecx
A Algebraic functions 대수적 함수 x2, 3x50
T Trigonometric functions 삼각 함수 sinx, tanx
E Exponential functions 지수 함수 ex, 19x

u를 대입한 후 남은 함수는 v'에 대입한다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다.

위에서 \int x \cos x \,dx를 구할 때, u=x를 취한 것이 그 예이다. 만약 반대로 u = \cos x를 취하면 결과는 아래처럼 더 복잡해진다.

\int x \cos x \,dx = \frac{x^2}{2} \cos x + \int \frac{x^2}{2} \sin x \,dx

LIATE 법칙이 항상 옳은 것은 아니다. 때로는 ILATE 순이 더 적절한 방식이다. 또 아래와 같이 그리 명백하지 않은 방식으로 두 함수를 분해해야 하는 경우도 있다.

\int x^3  e^{x^2} \,dx = \int (x^2) (x e^{x^2}) \,dx
= \int (x^2) \,d \left( \frac{1}{2} e^{x^2} \right)
= \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \int x e^{x^2} \,dx
= \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2  - 1) + C

다른 응용[편집]

부분적분은 때로 해석학 정리의 증명에 사용된다. 아래는 몇 가지 예이다.

특수함수[편집]

이상 적분으로 정의된 특수 함수감마 함수계승의 확장이라는 것을 다음과 같이 부분적분을 이용하여 보일 수 있다.

\Gamma (t) = \int_0^{\infty} x^{t - 1} e^{-x} \,dx
= - \int_0^{\infty} x^{t - 1} \,d(e^{-x})
= - [x^{t - 1}e^{-x}]_0^{\infty} + (t - 1) \int x^{t - 2} e^{-x} \,dx
= (t - 1) \Gamma (t - 1)

정수 t에 대해 이 점화식을 쓰면 다음을 얻는다.

\Gamma (t) = (t - 1)!

같이 보기[편집]