부분적분

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미적분학에서 부분적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 함수의 곱의 적분을 구하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 미분곱규칙으로부터 유도할 수 있다.

내용[편집]

연속 미분 가능한 두 함수 에 대하여, 곱규칙에 따라 다음이 성립한다.

양변에 적분을 취하면 다음과 같다.

따라서 미적분학의 기본정리에 의하여 다음을 얻는다.

이때, 를 나타낸다.

부정적분의 경우, 연속 미분 가능한 두 함수 에 대하여, 위와 비슷한 논증에 의해 다음이 성립한다.

서로 조금씩 다른 아래의 표현들이 사용되기도 한다.

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xcosx의 적분[편집]

다음 식을 적분한다.

이때, 와 같이 가정하면

가 되어,

와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, 적분 상수이다.

excosx 의 적분[편집]

이 경우는 부분적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.

이때,

이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.

그러면,

이므로, 함께 적으면,

임을 알 수 있다. 자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 보내면,

이고, 2로 나눠

와 같은 결과를 얻을 수 있다.

lnx, arctanx의 적분[편집]

또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는,

이다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

다음과 같이 가정하자.

그러면, 다음을 얻는다.

이 식에서 는 적분 상수이다.

두 번째 예는 역탄젠트 함수의 적분

이다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

다음과 같이 가정하자.

그러면,

임을 확인 할 수 있다.

요령[편집]

부분적분은 적분을 하는 데 있어 기계적인 풀이라기 보다는 좀 더 발견적에 가깝다. 그런 의미에서 피적분함수를 어느 두 함수의 곱으로 분해할지, 즉 를 어떻게 선택할지는 중요하다. 부분적분 공식

중 좌변의 는 우변에서 그의 미분인 로 나타난다. 마찬가지로 좌에서 우의 방향으로 보면 는 그의 적분인 로 바뀐다. 이로부터 의 미분 또는 의 적분이 간단해지게끔 피적분함수를 분해하는 것이 유리하다는 결론이 나온다. 그 예로

에서 는 그의 미분이 적분보다 간단하므로, 이를 로 취하여 부분적분을 시도해 보면 원래 적분은 아래와 같이 단순화된다.

의 미분과 의 적분의 곱 가 간단하도록 하는 방식도 취할 만하다. 예를 들어

에서 , 를 취하면 원래 적분은 아래와 같이 단순화된다.

부분적분이 적분을 단순화해야지만 의미가 있는 것은 아니다. 수치해석학에서 사용될 경우, 적분항이 오차항의 기능을 할 정도로 충분이 작으면 된다.

LIATE 법칙[편집]

브래들리 대학의 Herbert Kasube가 제안한 LIATE 법칙, 즉 아래의 순서에서 가장 먼저 일치하는 함수를 에 대입하는 방식은 유용하다.

L Logarithmic functions 로그 함수 lnx, logbx
I Inverse trigonometric functions 역삼각함수 arctanx, arcsecx
A Algebraic functions 대수적 함수 x2, 3x50
T Trigonometric functions 삼각 함수 sinx, tanx
E Exponential functions 지수 함수 ex, 19x

를 대입한 후 남은 함수는 에 대입한다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다.

위에서 를 구할 때, 를 취한 것이 그 예이다. 만약 반대로 를 취하면 결과는 아래처럼 더 복잡해진다.

LIATE 법칙이 항상 옳은 것은 아니다. 때로는 ILATE 순이 더 적절한 방식이다. 또 아래와 같이 그리 명백하지 않은 방식으로 두 함수를 분해해야 하는 경우도 있다.

다른 응용[편집]

부분적분은 때로 해석학 정리의 증명에 사용된다. 아래는 몇 가지 예이다.

특수함수[편집]

이상 적분으로 정의된 특수 함수감마 함수계승의 확장이라는 것을 다음과 같이 부분적분을 이용하여 보일 수 있다.

정수 에 대해 이 점화식을 쓰면 다음을 얻는다.

같이 보기[편집]