편미분

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편미분이란 다변수 함수를 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 이러한 개념은 벡터 미적분학에서 중요하게 쓰인다.

함수 f를 x로 편미분하는 것을 기호로는 와 같이 나타낸다. 여기에서 아드리앵마리 르장드르가 처음 제안했다.

정의[편집]

기본 정의 및 원리[편집]

함수 f는 다른 변수들에 색인이 달린 변수들의 집합으로 재해석될 수 있다.

다시 말해서, 모든 x값은 하나의 변수의 함수인 fx로 표시된 함수를 정의한다. 하나의 예를 들어보겠다.

x값이 정해지면 x값을 상수로 생각하기 위해 a로 표시한다. 그러면 f(x,y)는 a2 + ay + y2:로 표시된 fa가 된다.

이 표현에서 a는 상수이지 더이상 변수가 아니다. 그래서 fay로 표시된, 진짜 변수들에게만의 함수가 된다. 그리고 함수에서 y값을 평소 미분하는 것처럼 미분한다.

위의 공식에서 a는 어떤 값이어도 문제가 되지 않는다. 도함수를 일반화시키기 위해서 y와 관련된 함수로 바꿔 보겠다.

이것은 fy에 관한 편도함수이다. ∂은 둥근 d인데 그리고 문자 델타 δ의 변형된 모형이고 편미분이라고 읽는다.

공식적인 정의[편집]

편미분에 대한 엄밀한 정의는 다음과 같다.

집합 열린 집합이며 부분집합일 때 함수 가 있다. 이때 에서 번째 변수 의 편미분은 다음 극한이 존재한다면 다음과 같이 정의된다.

번째 기저번째 칸이 이다.

함수 이라면 이 함수는 들의 모임 로 나타낼 수 있고, 이때 각 성분함수 에 대해 편미분을 정의할 수 있다. 예를 들어 에서 번째 성분 에 대한 번째 변수 의 편미분이다.

표기법[편집]

만약 가 독립적인 변수 에 대한 함수라고 하면, 로 편미분한 식은 다음과 같다.

이 식을 로 한번 더 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

이때 를 y로 편미분한다면, 즉 함수 f를 x로 편미분한 후 y로 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

역시 마찬가지로, f를 x로 편미분한 후 y, z로도 한번씩 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

[편집]

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

관련 정리[편집]

만약 함수 함수라면 그 함수의 혼합 편미분()은 서로 같다.
(증명) 라고 하고 라고 하자. 그렇다면 이다. 전제에 의하여 는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 사이에는 를 만족하는 가 존재한다. 이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면 는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 사이에는 를 만족하는 가 존재한다. 따라서 이고, 이다. 연속이므로 이다. 비슷한 방법으로 계산해보면 이므로 이다.

참고 문헌[편집]

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.