편미분

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벡터 미적분학미분기하학에서, 편미분(偏微分, 영어: partial derivative)은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 표기

는 변수 에 대한, 함수 의 편미분을 뜻한다. 표기

등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다.

편미분 기호는 이다. 1770년 이래 니콜라 드 콩도르세가 편차분 기호로서 사용하였으며, 이는 발견된 최초의 수학적 사용이다. 1786년에 아드리앵마리 르장드르가 편미분 기호로서 도입하였다. 다만 뒷날 그는 이 기호를 버려두었다. 1841년에 카를 구스타프 야코프 야코비가 이 기호를 재도입하였다.[1]

도입[편집]

z = x2 + xy + y2의 그래프. y = 1로 놓으면, xz-평면과 평행하는 빨간색 곡선을 얻으며, 점 (1, 1)에서 곡선의 접선은 역시 xz-평면과 평행한다.
위 그래프의 평면 y = 1에 의한 절단면. 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 3이다.

하나 이상의 변수를 갖는 함수 가 주어졌다고 가정하자. 예를 들어,

함수의 그래프유클리드 공간곡면을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 접선이 존재한다. 편미분은 이런 접선 가운데 하나를 골라, 그 기울기를 구하는 것이다. -평면이나 -평면과 평행하는 접선(즉, 를 상수로 놓아 얻는 접선)은 특히 중요도가 높다. 점 에서 -평면과 평행하는 접선의 기울기를 구하자. 를 상수로 볼 때, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻는다. 그 곡선 방정식에서 를 상수로 보아 미분을 구하면, 점 에서 곡선의 기울기가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

대입을 통해, 점 에서 -평면과 평행하는 접선의 기울기는 3이라는 것을 알 수 있다. 즉, 점 에서

.

즉, 점 에서 에 대한 편미분은 3이다.

함수 는 변수 하나의 함수들의 족으로서 재해석할 수 있다. 다시 말해, 모든 값은 변수 하나의 함수

에 대응한다. 만약 의 값을 와 같이 선택해 고정시킨다면, 는 함수

를 결정한다. 가 상수이지 더 이상 변수가 아니며, 따라서 는 변수 하나만을 갖는다. 따라서, 일변수 함수의 미분을

와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든 값의 함수이며, 이 논의는 모든 값에 적용시킬 수 있다. 따라서 이로부터, 모든 값 및 값을 변수로 갖는 함수

을 얻을 수 있다. 이는 함수 의, 변수 에 대한 편미분이다.

정의[편집]

연결 열린집합 에 정의된 실숫값 함수 및 점 에 대하여, 점 에서 함수 의 변수 에 대한 편미분은 다음과 같은 극한이다.

편미분은 다음과 같이 정의할 수도 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.

여기서

  • 는 방향 미분이다.
  • 번째 좌표가 1, 나머지 좌표가 0인 단위 벡터이다.

어떤 에서 에 대한 편미분이 존재한다면, 점 에서 에 대해 편미분 가능하다고 한다. 모든 에서 에 대한 편미분이 존재한다면, 에서 에 대해 편미분 가능하다고 한다. 이 경우, 편미분은 정의역이 , 공역이 인 함수이며, 이를

로 표기한다.

기울기[편집]

(어떤 점 또는 모든 점에서) 함수 가 모든 변수에 대해 편미분 가능할 경우, 기울기는 각 변수에 대한 편미분을 좌표로 갖는 벡터이다.

방향 미분[편집]

방향 미분(方向微分, 영어: directional derivative)은 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다.

다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

  • 연결 열린집합 에 정의된 실숫값 함수
  • 유클리드 공간 속 점
  • 유클리드 공간단위 벡터
이를 "방향"이라고 부르자.

그렇다면, 점 에서 의 방향 에 대한 방향 미분은 다음과 같은 극한이다.

여기서

이다.

고계 편미분[편집]

함수 고계 편미분(高階偏微分, 영어: higher order partial derivative)은 편미분의 편미분이나 편미분의 편미분의 편미분 등등을 뜻한다.

예를 들어, 독립 변수 의 함수 에 대하여, 에 대한 편미분은 다음과 같이 표기한다.

이를 다시 로 편미분하면, 이계 편미분을 얻으며, 다음과 같이 표기한다.

비슷하게, 로 편미분하고, 다시 로 편미분할 수 있다.

일반적으로, 연결 열린집합 에 정의된 실숫값 함수 를 변수 번, 변수 번, ..., 변수 번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다.

용어 혼합 편미분(混合偏微分, 영어: mixed derivative)은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서 에 대한 편미분의 에 대한 편미분은 혼합 편미분이다.

많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능하며, 이 경우 편미분은 다중지표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다.

성질[편집]

(어떤 점이나 모든 점에서) 함수가 전미분 가능하다면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재한다. 또한, 다음이 성립한다.

(어떤 점이나 모든 점에서) 함수의 모든 편미분이 존재하고, 모두 연속 함수라면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수는 전미분 가능하다. 이 경우 함수가 연속 미분 가능하다고 한다.

편미분 교환 법칙[편집]

편미분 교환 법칙에 따르면, 연결 열린집합 에 정의된 함수 및 그 두 변수 , 에 대하여, 만약 함수라면, 에 대한 혼합 편미분은 서로 같다. 즉,

증명:

라고 하고 라고 하자. 그렇다면 이다. 전제에 의하여 는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 사이에는 를 만족하는 가 존재한다. 이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면 는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 사이에는 를 만족하는 가 존재한다. 따라서 이고, 이다. 연속이므로 이다. 비슷한 방법으로 계산해보면 이므로 이다.

[편집]

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

연속 + 모든 편미분 부재[편집]

모든 편미분 존재 + 불연속[편집]

모든 방향 미분 존재 + 모든 편미분 부재[편집]

모든 방향 미분 존재 + 불연속[편집]

각주[편집]

  1. Miller, Jeff (2009년 6월 14일). “Earliest Uses of Symbols of Calculus”. 《Earliest Uses of Various Mathematical Symbols》. 2009년 2월 20일에 확인함. 

참고 문헌[편집]

  • Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0. 
  • 伍胜健 (2009). 《数学分析》 [해석학] (중국어) 3 초판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.