일반항 판정법

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일반항 판정법(一般項判定法, term test) 또는 n항 판정법(nth term test)은 다음과 같은 서로 대우인 두 명제 중 하나로 서술되는 무한급수수렴판정법이다.

  • 수렴하면, 이다.
  • 이 0이 아니거나 존재하지 않으면, 발산한다.

증명[편집]

급수가 (S로) 수렴한다고 가정하자. 급수의 처음 n항의 합을 Sn이라 할 때,

또, 일반항 판정법은 코시 수렴판정법의 특별한 경우이며, 많은 곳에서 코시 판정법에 의해 증명된다. ∀ε > 0에 대해, N이어서 mnN에 대해

여기서 특별히 m = n인 경우 |an| ≤ ε이다. 따라서

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일반항 판정법에 의하면, 0이 아닌 값으로 수렴하는 일반항에 의한 급수는 발산한다. 은 상수열 (1)1( ≠ 0)로 수렴함에 따라 발산한다. 일반항이 극한을 갖지 않아도, 급수는 발산한다. ((-1)n)의 극한이 존재하지 않음에 따라 발산한다.

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은 급수 의 수렴을 보장하지 않는다. 즉 일반항 판정법의 역은 성립치 않는다. 다음 급수들은 항이 0으로 수렴하나, 각기 다른 수렴성이 있다.

  • 은 수렴한다.
  • (조화급수)은 무한대로 발산한다.
  • 부분합유계인 채로 발산한다.

유사한 결론[편집]

이상적분, 무한곱, 균등수렴에 대해 급수의 일반항 판정법과 비슷한 결론이 있다.

  • 단조함수 f의 이상적분 가 수렴한다면, f(x)는 0으로 수렴한다(x → ∞). f가 단조함수가 아닌 경우는 일반적으로 틀린 결론이다.
  • 0이 아닌 수로 수렴하는 무한곱 의 항 an은 1로 수렴한다.
  • 균등수렴하는 함수열 의 항 fn(x)는 영함수로 균등수렴한다(n → ∞).