코시 수렴 판정법

해석학에서, 코시 수렴 판정법(영어: Cauchy’s convergence test)은 급수의 수렴 판정법의 하나이다. 이 판정법에 의하면, 급수가 수렴한다는 것은 부분합 수열이 코시 수열인 것과 동치이다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실수항 또는 복소수항 급수

$\mathbb {K}$ 위의 수열 $(x_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {K}$이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$은 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$가 존재한다.
  • 임의의 $m,n>N_{\epsilon }$에 대하여, $\textstyle \left|{\sum _{k=m+1}^{n}x_{k}}\right|<\epsilon$

여기서 $|\cdot |$는 절댓값이다.

증명:

첫 번째 조건은 부분합 $\textstyle \sum _{k=0}^{n}x_{k}$의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. $\mathbb {K}$는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

바나흐 공간 위의 급수

$\mathbb {K}$-바나흐 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 위의 점렬 $(x_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq X$이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:8, §1.2, Theorem 1.2.1}

• $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$은 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$가 존재한다.
  • 임의의 $m,n>N_{\epsilon }$에 대하여, $\textstyle \Vert {\sum _{k=m+1}^{n}x_{k}}\Vert <\epsilon$

증명:

첫 번째 조건은 부분합 $\textstyle \sum _{k=0}^{n}x_{k}$의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. $X$는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

함수항 급수

집합 $S$ 및 $\mathbb {K}$값 함수열 $f_{n}\colon S\to \mathbb {K}$ ($n\in \mathbb {N}$)이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$은 균등 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$가 존재한다.
  • 임의의 $m,n>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여, $\textstyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right|<\epsilon$

증명:

$\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }$가 존재한다.

임의의 $n>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여, $\textstyle \left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right|<{\frac {\epsilon }{2}}$

따라서, 임의의 $n>m>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여,

$\left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{n}(s)\right|=\left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right|\leq \left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right|+\left|\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right|<\epsilon$

이다.

반대로, 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$가 존재한다고 가정하자.

임의의 $m,n>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여, $\textstyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right|<\epsilon$

그렇다면, 각 $s\in S$에서의 부분합 $\textstyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)$는 $\mathbb {K}$ 위의 코시 수열이며, 따라서 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(s)$은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 $n\to \infty$을 취하면 다음을 얻는다.

임의의 $m>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여, $\textstyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right|<\epsilon$

이에 따라, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$은 균등 수렴한다.

보다 일반적으로, 집합 $S$ 및 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 및 $X$값 함수열 $f_{n}\colon S\to X$ ($n\in \mathbb {N}$)이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$은 균등 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$가 존재한다.
  • 임의의 $m,n>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여, $\textstyle \left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon$

증명:

$\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }$가 존재한다.

임의의 $n>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여, $\textstyle \left\Vert \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right\Vert <{\frac {\epsilon }{2}}$

따라서, 임의의 $n>m>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여,

$\left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}f_{n}(s)\right\Vert =\left\Vert \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right\Vert \leq \left\Vert \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right\Vert +\left\Vert \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon$

이다.

반대로, 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$가 존재한다고 가정하자.

임의의 $m,n>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여, $\textstyle \left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon$

그렇다면, 각 $s\in S$에서의 부분합 $\textstyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)$는 $\mathbb {K}$ 위의 코시 수열이며, 따라서 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(s)$은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 $n\to \infty$을 취하면 다음을 얻는다.

임의의 $m>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여, $\textstyle \left\Vert \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon$

이에 따라, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$은 균등 수렴한다.

임의의 집합 $S$ 및 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$에 대하여, 유계 함수 $S\to X$의 집합 ${\mathcal {B}}(S,X)$은 점별 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 대하여 벡터 공간을 이루며, 또한 다음과 같은 상한 노름에 대하여 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

$\Vert f\Vert _{\infty }=\sup _{s\in S}\Vert f(s)\Vert \qquad (f\in {\mathcal {B}}(S,X))$

만약 각 $f_{n}$이 유계 함수라면, 첫 번째 조건은 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$이 상한 노름에 대하여 수렴하는 것과 동치이며, 두 번째 조건은 부분합 $\textstyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}$이 상한 노름에 대하여 ${\mathcal {B}}(S,X)$ 위의 코시 점렬을 이루는 것과 동치이다.

따름정리

일반항 판정법은 코시 수렴 판정법에서 $n=m+1$을 취한 특수한 경우로 생각할 수 있다.

모든 절대 수렴 급수는 수렴한다는 사실은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

바이어슈트라스 M-판정법은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

관련 정리

함수의 극한에 대한 코시 수렴 판정법

임의의 열린구간 $I\subseteq \mathbb {R}$ 및 $a\in I$ 및 함수 $f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 함수의 극한 $\lim _{x\to a}f(x)$이 존재한다.
• 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 양의 실수 $\delta _{\epsilon }>0$가 존재한다.
  • 임의의 $0<|x-a|,|y-a|<\delta _{\epsilon }$에 대하여, $|f(x)-f(y)|<\epsilon$

이상 적분에 대한 코시 수렴 판정법

이상 적분

$\int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x$

$f\colon [a,\infty )\to \mathbb {K}$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x$는 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 $M>a$가 존재한다.
  • 임의의 $x,y>M$에 대하여, $\textstyle \left|{\int _{x}^{y}f(t)\mathrm {d} t}\right|<\epsilon$

외부 링크

• “Cauchy test”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy criterion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.