균등수렴

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해석학에서, 균등수렴(均等收斂, uniformly convergent)하는 함수열은, 주어진 함수로 일제히 '동일한 속도'로 수렴하는 함수열이다. 균등수렴은 점마다 수렴보다 더 강한 개념이며, 점마다 수렴이 보존하지 않는 여러 성질(예: 연속성)을 보존한다.

균등수렴은 고른수렴, 평등수렴(平等收斂), 일양수렴(一樣收斂)이라고도 불린다.

정의[편집]

S는 임의의 집합, M거리공간, f_n\colon S\to M을 함수열, f\colon S\to M을 또 하나의 함수라고 하자. 만약 임의의 \epsilon > 0에 대해, 어떤 N이 존재하여, 임의의 n > Nx \in S에 대해, d(f_n(x), f(x)) < \epsilon이라면, 함수열 f_n이 (균등극한) f균등수렴한다고 하고, f_n \rightrightarrows f로 표기한다. 균등수렴은

\lim_{n\to\infty}\, \sup_{x\in S}\, d(f_n(x), f(x)) = 0

과 동치이다. 즉, 균등수렴은 함수열의 균등 노름 하의 수렴이다.

기본적으로,

  • 만약 f_n \rightrightarrows f이면, f_n|_{S'} \rightrightarrows f|_{S'}이다. (|_{S'}S의 부분집합 S'로의 제한)
  • 만약 f_n \rightrightarrows f, g_n \rightrightarrows g이면, f_n \cup g_n \rightrightarrows f \cup g이다. (무한 개의 합집합에 대해서는 성립하지 않는다)

실함수[편집]

균등수렴은 실함수열에 대해서도 정의되며, 이때 위에서 사용된 d는 절댓값에 의한 거리로 특화된다. 덧셈이 정의되어 있으므로, 실함수항급수의 균등수렴도 논의할 수 있다. 실구간 I에 정의된 실수값함수들만을 논의하자면, 함수항급수 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n의 균등수렴은, 부분합 S_n의 균등수렴으로 정의된다. 절대균등수렴은, \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} |f_n|의 균등수렴으로 정의된다. 절대균등수렴이면 반드시 절대수렴이고 균등수렴이다. 그러나, 절대수렴이고 균등수렴인 급수가 반드시 절대균등수렴인 것은 아니다.

이들 논의는 복소수, 나아가 노름 벡터 공간에 대해서도 잘 적용된다.

실함수열에 대해 기본적으로, 만약 f_n \rightrightarrows f, g_n \rightrightarrows g이면, cf_n \rightrightarrows cf(c는 상수), f_n + g_n \rightrightarrows f + g이다. 만약 f_n,g_n 둘 모두 균등유계이기도 하면, f_ng_n \rightrightarrows fg이다(균등유계가 아닐 경우 반례가 존재한다).

다음은 실함수항급수의 균등수렴에 대한 판정법들이다. 대다수는 실수항급수의 수렴판정법의 전제 조건이 정의역의 모든 곳에서 '균등적'으로 성립하는 것을 전제 조건으로 한다.

  • (코시 수렴판정법)실함수항급수가 수렴할 필요충분조건은, 임의의 \epsilon > 0에 대해, 어떤 N이 존재하여, 임의의 n,m > Nx \in I에 대해, \textstyle \left|\sum_{k=n}^m f_n(x)\right| < \epsilon
  • (바이어슈트라스 M-판정법)만약 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n의 부분합이 항상 |S_n(x)| \le M_n이고, (양수항급수) \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} M_n이 수렴하면, \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n은 절대균등수렴한다.
  • (디리클레 판정법)만약 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} g_n의 부분합 S_n균등유계이고, h_nn에 대해 단조롭고, 0으로 균등수렴하면, \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} g_nh_n은 균등수렴한다.
  • (아벨 판정법)만약 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} g_n이 균등수렴하고, h_nn에 대해 단조롭고, 균등유계이면, \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} g_nh_n은 균등수렴한다.

연속성 보존[편집]

점마다 수렴에서의 연속성 보존 반례. 연속함수열 sinnx는 [0, π]에서 불연속인 함수(빨간색)로 수렴한다.

S위상공간(예: 실구간)이라고 하자. 그러면 함수의 연속성을 논의 가능하며, 균등수렴정리에 의하면, 연속함수열의 균등극한은 여전히 연속이다.

균등극한정리의 증명은, ε-δ 논법과 삼각부등식의 실례인

|f(x) - f(y)| \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(y)| + |f_n(y) - f(y)|

로 이루어진다.

점마다 수렴은 연속성의 보존하지 않는다.

더 나아가, 균등연속함수의 균등극한은 여전히 균등연속이다. 국소 콤팩트 공간에서는 연속성이 국소균등연속성과 동치이므로, 두 결론은 같은 얘기이다.

적분가능성[편집]

리만 적분에 한하면, 적분가능 함수열의 균등극한은 여전히 적분가능하고, 그 적분은 항별적분의 극한과 같다.

\int_I f= \lim_{n\to\infty} \int_I f_n

실제로, 유계함수열의 균등극한(여전히 유계)의 리만 상·하적분은, 항별 상·하적분의 극한과 같다.

점마다 수렴은 리만 적분가능성을 보존하지 않는다.

르베그 적분에 대해서는, 더 많이 약화된 전제 조건을 사용할 수 있다.

미분가능성[편집]

바깥 고리[편집]