균등수렴

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미적분학
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해석학에서, 균등 수렴 함수열(均等收斂函數列, 영어: uniformly convergent sequence of functions)은 "동일한 속도"로 주어진 함수로 수렴하는 함수열이다. 균등 수렴은 점마다 수렴보다 더 강한 개념이다.

정의[편집]

S집합이고, X거리 공간이라고 하자. f_n\colon S\to X (n=1,2,3,4,\dots)가 함수들의 수열이고, f\colon S\to X라고 하자. 만약 다음이 성립하면, f_n균등 수렴 함수열이라고 하며, ff_n균등 극한(영어: uniform limit)이라고 한다.

\forall \epsilon>0\exists N_\epsilon\forall n\ge N_\epsilon\forall s\in S\colon d(f_n(s),f(s))<\epsilon

성질[편집]

S위상 공간이라고 하자. 만약 연속 함수들의 수열이 균등수렴한다면, 그 수렴하는 극한 또한 연속 함수다. (이는 점마다 수렴의 경우 성립하지 않는다.)

균등 수렴 정리[편집]

(f_n)_n이 구간 S에서 함수 f로 균등 수렴하는 연속 함수의 수열이면 f 역시 S에서 연속이다.

이를 증명하기 위해서는 임의의 양수 \epsilon와 정의역 내의 임의의 x에 대해 |f(x)-f(y)|<\epsilony[x-\delta, x+\delta] 안에 존재함을 보이면 된다.

{ f_n (x) }f(x)로 균등 수렴하므로 정의역 내의 임의의 t에 대해
|f_N (t)-f(t)|<\frac{\epsilon}{3}N이 존재한다.
{ f_n(x) }가 연속 함수이므로 정의역 내의 임의의 x에 대해
|f_N(x)-f_N(y)|<\frac{\epsilon}{3}y[x-\delta, x+\delta] 안에 존재한다.
위의 두 부등식과 삼각부등식을 적용하면
|f(x)-f(y)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(y)|+|f_N(y)-f(y)|\le\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon

참고로 점마다 수렴하는 함수의 경우 그 극한이 연속 함수라고 단정지을 수 없다.

엄밀히 말하면 이 정리는 균등 연속 함수의 균등 극한은 균등 연속 함수가 됨을 뜻한다. 국소 콤팩트 공간에서 연속성은 국소 균등 연속성과 동치이므로, 연속 함수의 균등 극한은 연속 함수가 된다.

바깥 고리[편집]