균등 수렴

해석학 및 일반위상수학에서 균등 수렴(均等收斂, 영어: uniform convergence) 또는 고른 수렴 또는 평등 수렴(平等收斂) 또는 일양 수렴(一樣收斂)은 함수열이 모든 점에서 “동일한 속도”로 주어진 함수로 수렴하는 성질이다. 점별 수렴보다 더 강한 개념이며, 점별 수렴이 보존하지 않는 여러 성질을 보존한다. 예를 들어, 연속 함수의 열의 균등 극한은 연속 함수다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 집합 $X$
• 균등 공간 $(Y,{\mathcal {E}}_{Y})$
• 함수의 그물 $(f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}$
• 함수 $f\colon X\to Y$

만약 이들이 다음 조건을 만족시킨다면, $(f_{n})_{n\in N}$이 $f$로 균등 수렴한다고 하며, $f$를 $(f_{n})_{n\in N}$의 균등 극한이라고 한다.

• 임의의 측근 $\epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $N_{\epsilon }\in N$이 존재한다.
  • 임의의 $n\gtrsim N_{\epsilon }$ 및 $x\in X$에 대하여, $f_{n}(x)\approx _{\epsilon }f(x)$

이는 흔히

$f_{n}\rightrightarrows f$

라고 쓴다. 예를 들어, 만약 $Y=\mathbb {R}$가 실수선이며, 함수의 그물 $(f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }$이 실수 값 함수의 열이라면, 이 조건은 다음과 같다.

• 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$이 존재한다.
  • 임의의 $n\geq N_{\epsilon }$ 및 $x\in X$에 대하여, $|f_{n}(x)-f(x)|\leq \epsilon$

사실, 균등 수렴은 함수 집합 $Y^{X}$의 균등 수렴 위상에서의 수렴이다. 특히, $Y=\mathbb {R}$인 경우, 균등 수렴은 $\mathbb {R} ^{X}$ 위에 균등 거리 함수

$d(f,g)=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|$

로부터 유도되는 위상에 대한 수렴이다.

성질

함의 관계

집합 $X$를 정의역으로 하고 균등 공간 $(Y,{\mathcal {E}}_{Y})$를 공역으로 하는 함수의 그물 $(f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}$이 함수 $f\colon X\to Y$로 균등 수렴한다면, $(f_{n})_{n\in N}$은 $f$로 점별 수렴한다.

집합 $X$를 정의역으로 하고 아벨 위상군 $(Y,+)$를 공역으로 하는 함수열 $(f_{n}\colon X\to Y)_{n\in \mathbb {N} }$의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$이 균등 수렴한다면, $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$는 상수 함수 $0\colon X\to Y$로 균등 수렴한다.

집합 $X$를 정의역으로 하고 완비 균등 공간 $(Y,{\mathcal {E}}_{Y})$를 공역으로 하는 함수의 그물 $(f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• $f_{n}$은 균등 수렴한다.
• $f_{n}$은 ($Y^{X}$의 균등 수렴 균등 구조에 대하여) 코시 그물이다. 즉, 임의의 측근 $\epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $N_{\epsilon }\in N$이 존재한다.
  • 임의의 $m,n\gtrsim N_{\epsilon }$ 및 $x\in X$에 대하여, $f_{m}(x)\approx _{\epsilon }f_{n}(x)$

(표준적인 균등 구조를 갖춘) 실수선 $Y=\mathbb {R}$은 완비 균등 공간이다. 또한, 함수의 열 $(f_{n}\colon X\to Y)_{n\in \mathbb {N} }$은 그물의 특수한 경우다. 이 경우, 코시 그물 조건은 다음과 같다.

• 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$이 존재한다.
  • 임의의 $m,n\geq N_{\epsilon }$ 및 $x\in X$에 대하여, $|f_{m}(x)-f_{n}(x)|\leq \epsilon$

만약 $Y$의 완비성을 가정하지 않는다면, 균등 수렴하는 함수 그물은 코시 그물이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, $X$가 한원소 집합인 경우를 생각할 수 있다.

균등 수렴을 위한 다양한 수렴 판정법이 존재한다.

• 바이어슈트라스 M-판정법
• 균등 수렴에 대한 디리클레 판정법
• 균등 수렴에 대한 아벨 판정법

연속 함수의 보존

위상 공간 $X$를 정의역으로 하고 균등 공간 $(Y,{\mathcal {E}}_{Y})$를 공역으로 하는 연속 함수의 그물 $(f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}$이 함수 $f\colon X\to Y$로 균등 수렴한다면, $f$ 역시 연속 함수다.

증명:

임의의 $x_{0}\in X$ 및 임의의 측근 $\epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 $U\ni x_{0}$을 찾아야 한다.

• 임의의 $x\in U$에 대하여, $f(x)\approx _{\epsilon }f(x_{0})$

다음을 만족시키는 측근 $\epsilon /3\in {\mathcal {E}}_{Y}$을 고르자.

$(\epsilon /3)\circ (\epsilon /3)\circ (\epsilon /3)\subset \epsilon$

$(\epsilon /3)^{-1}=\epsilon /3$

가정에 따라, 다음을 만족시키는 $N_{\epsilon }\in N$이 존재한다.

• 임의의 $n\gtrsim N_{\epsilon }$ 및 $x\in X$에 대하여, $f_{n}(x)\approx _{\epsilon /3}f(x)$

$f_{N_{\epsilon }}$은 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 $U\ni x_{0}$이 존재한다.

• 임의의 $x\in U$에 대하여, $f_{N_{\epsilon }}(x)\approx _{\epsilon /3}f_{N_{\epsilon }}(x_{0})$

이에 따라, 임의의 $x\in U$에 대하여,

$f(x)\approx _{\epsilon /3}f_{N_{\epsilon }}(x)\approx _{\epsilon /3}f_{N_{\epsilon }}(x_{0})\approx _{\epsilon /3}f(x_{0})$

이므로

$f(x)\approx _{\epsilon }f(x_{0})$

이다.

반대로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 공간 $X$
• 연속 함수의 단조 그물 $(f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in (N,\lesssim )}$. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
  • (연속 함수의 그물) 모든 $f_{n}$은 연속 함수다.
  • (단조 그물) 임의의 $x\in X$ 및 $n\lesssim n'$에 대하여, $f_{n}(x)\leq f_{n'}(x)$
• 연속 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$

디니 정리에 따르면, 만약 $f_{n}$이 $f$로 점별 수렴한다면, $f_{n}$은 $f$로 균등 수렴한다. 이는 $X$가 콤팩트 공간이라고 가정하지 않으면 참이 아니다. 예를 들어, 연속 함수의 단조열 $(x\mapsto x^{n})\colon (0,1)\to \mathbb {R}$ ($n\in \mathbb {N}$)은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 단조 그물의 가정 역시 필수적이다. 예를 들어, 연속 함수의 열 $(x\mapsto nx\exp(-nx^{2}))\colon [0,1]\to \mathbb {R}$은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다.

증명:

임의의 양의 실수 $\epsilon \in \mathbb {R} ^{+}$가 주어졌다고 하자. 임의의 $n\in N$에 대하여,

$K_{\epsilon ,n}=\{x\in X\colon |f(x)-f_{n}(x)|\geq \epsilon \}\subseteq X$

라고 정의하자. $K_{\epsilon ,n}$은 콤팩트 공간 $X$의 닫힌집합이며, 따라서 콤팩트 집합이다. 임의의 $n\lesssim n'$에 대하여,

$|f(x)-f_{n}(x)|=f(x)-f_{n}(x)\gtrsim f(x)-f_{n'}(x)=|f(x)-f_{n'}(x)|$

이므로, $K_{n}\supset K_{n'}$이다. 따라서 $(K_{\epsilon ,n})_{n\in N}$은 하향 집합을 이룬다. 임의의 $x\in X$에 대하여, $(f_{n}(x))_{n\in N}$이 $f(x)$로 수렴하므로, $x\not \in K_{\epsilon ,n}$인 $n\in N$이 존재한다. 즉, $\textstyle \bigcap _{n\in N}K_{\epsilon ,n}=\varnothing$이다. 칸토어 교점 정리에 따라, $K_{\epsilon ,N_{\epsilon }}=\varnothing$인 $N_{\epsilon }\in N$이 존재한다. 하향성에 따라, 임의의 $n\gtrsim N_{\epsilon }$에 대하여 $K_{\epsilon ,n}=\varnothing$이다. 즉, $(f_{n})_{n\in N}$은 $f$로 균등 수렴한다.

적분과의 호환

리만 적분 가능 함수의 열 $(f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }$이 함수 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$로 균등 수렴한다면, $f$ 역시 리만 적분 가능 함수이며, 또한

$\int _{a}^{b}f\,dx=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx$

이다.

미분과의 호환

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 미분 가능 함수의 열 $(f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }$
• 함수 $g\colon [a,b]\to \mathbb {R}$

또한, 이들이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})\in \mathbb {R}$이 존재하는 $x_{0}\in [a,b]$가 존재한다.
• $f_{n}'$은 $g$로 균등 수렴한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

• $f_{n}$은 어떤 미분 가능 함수 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$로 균등 수렴한다.
• $f'=g$

정칙 함수의 보존

복소평면의 열린집합 $U\subseteq \mathbb {C}$를 정의역으로 하는 복소수 값 정칙 함수의 열 $(f_{n}\colon U\to \mathbb {C} )_{n\in \mathbb {N} }$이 함수 $f\colon U\to \mathbb {C}$로 균등 수렴한다면, $f$는 정칙 함수다. 이는 모레라 정리의 따름정리다.

예

함수열

$f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} \qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})$

을 생각하자. 만약

$f_{n}(x)=x/n\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])$

라면, $f_{n}$은 0으로 균등 수렴한다. 반면, 만약

$f_{n}(x)=x^{n}\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])$

라면, $f_{n}$은 함수

$f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$

$f(x)={\begin{cases}0&x\in [0,1)\\1&x=1\end{cases}}$

로 점별 수렴하지만, 균등 수렴하지 않는다.

참고 문헌

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. 《General topology. Chapters 1–4》 1966년판 재판 (영어). Elements of Mathematics (Berlin). 베를린: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniform convergence” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Uniform convergence” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.