균등 연속 함수

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수학에서, 균등 연속 함수(均等連續, 영어: uniformly continuous map)는 두 균등 공간 사이의, 균등 공간의 구조와 호환되는 함수이다. 만약 균등 공간의 구조가 거리 함수로부터 유도된다면, 이는 임의의 반지름의 열린 공의 원상이 균등한 (위치에 의존하지 않는) 크기를 갖는 열린 공을 포함하는 함수이다. 연속 함수의 조건은 국소적인데, 이를 대역적으로 강화시킨 조건이다.

정의[편집]

균등 공간의 경우[편집]

균등 공간 (X,\mathcal E), (Y,\mathcal F) 사이의 균등 연속 함수는 다음 조건을 만족시키는 함수 f\colon X\to Y이다.

  • 측근의 원상은 측근이다. 즉, 임의의 F\in\mathcal F에 대하여, f^{-1}(F)\in\mathcal E이다.

이는 두 위상 공간 사이의 연속 함수의 정의와 유사하다. 연속 함수는 열린집합원상열린집합함수이며, 균등 연속 함수는 측근의 원상이 측근인 함수이다.

거리 공간의 경우[편집]

거리 공간 (X,d_X)은 항상 다음과 같은 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다.

\mathcal E=\left\{\{(x,y)\in X^2\colon d_X(x,y)\le t\}\colon t\in\mathbb R^+\right\}

따라서, 두 거리 공간 사이의 균등 연속 함수의 개념을 정의할 수 있다. 이 개념은 구체적으로 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

거리 공간 (X, d_X), (Y, d_Y) 사이의 함수 f\colon X \to Y가 주어졌을 때, 만약 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 \delta_\epsilon>0이 존재한다면 f균등 연속 함수라고 한다.

  • X의 임의의 점 x, x'\in X에 대하여, 만약 d_X(x,x')<\delta_\epsilon이라면 항상 d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon이다.

이는 연속 함수의 정의와 유사하나, 연속 함수의 정의에서 \delta\epsilonx에 의존할 수 있는 반면 균등 연속 함수의 정의에서는 \delta\epsilon에만 의존하고, x에 의존할 수 없다.

성질[편집]

균등 공간 사이의 모든 균등 연속 함수는 (균등 위상에 대하여) 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 정의역이 콤팩트 거리 공간이며 공역이 거리 공간이라면 모든 연속 함수는 균등 연속 함수이다 (하이네-칸토어 정리).

거리 공간 사이의 모든 립시츠 연속 함수횔더 연속 함수는 균등 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

정의역이 구간인 경우, 모든 절대 연속 함수는 균등 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

[편집]

탄젠트 함수 \tan\colon(-\pi/2,\pi/2)\to\mathbb R연속 함수이지만, 균등 연속 함수가 아니다.

지수 함수 \exp\colon\mathbb R\to\mathbb R연속 함수이지만, 균등 연속 함수가 아니다.

바깥 고리[편집]