하이네-칸토어 정리

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해석학에서, 하이네-칸토어 정리(Heine-Cantor定理, 영어: Heine–Cantor theorem)는 두 균등 공간 사이의 함수에 대하여, 만약 정의역이 콤팩트 공간이라면 연속 함수의 개념과 균등 연속 함수의 개념이 일치한다는 정리다.

정의[편집]

콤팩트 균등 공간 균등 공간 사이의 함수 가 주어졌다고 하자. 하이네-칸토어 정리에 따르면, 연속 함수인 것과 균등 연속 함수인 것은 동치이다.[1]:198, Theorem 6.31

증명:

모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수 및 임의의 측근 가 주어졌다고 하자. 그렇다면

가 성립하는 측근 를 찾으면 족하다.

우선,

대칭 측근 를 찾자.

연속 함수이므로, 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 들이 존재한다.

이제

인 측근 들을 고르자. 이제,

열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개

가 존재한다. 이제,

측근 를 고르자.

이제, 임의의 에 대하여 이라고 하자. 그렇다면,

가 존재한다. 따라서

이므로

이며, 따라서

이며, 따라서

이다.

[편집]

균등 공간에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완전 유계 공간이자 완비 균등 공간인 것과 동치이다 (하이네-보렐 정리). 만약 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다.

역사[편집]

게오르크 칸토어집합론실수의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 에두아르트 하이네가 정의역이 폐구간이고 공역이 실직선인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다.[2]:188, Lehrsatz B.3.6 이 논문에서 하이네는 다음과 같이 적었다.

할레의 칸토어 씨에게 특별한 감사를 드리고자 한다. 그의 업적은 나의 이 논문의 얼개에 큰 영향을 미쳤다. […]

Zu besonderem Danke bin ich dem Herrn Cantor in Halle für seine mündlichen Mittheilungen verpflichtet, welche einen bedeutenden Einfluss auf die Gestaltung meiner Arbeiten ausübten […].

 
[2]:173

참고 문헌[편집]

  1. Kelley, John L. (1975). 《General topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 27 2판. Springer. ISBN 0-387-90125-6. ISSN 0072-5285. Zbl 0306.54002. 
  2. Heine, Eduard (1872). “Die Elemente der Functionenlehre”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 74: 172–188. doi:10.1515/crll.1872.74.172. ISSN 0075-4102. 

바깥 고리[편집]