완전 유계 공간

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해석학에서, 완전 유계 공간(完全有界空間, 영어: totally bounded space) 또는 프리콤팩트 공간(영어: precompact space)은 임의적으로 "작은" 집합들로 구성된 유한 덮개를 갖는 공간이다. 여기서 임의적으로 "작은" 집합의 개념은 거리 공간 구조 또는 보다 일반적으로 균등 공간 구조로 정의된다.

정의[편집]

균등 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 균등 공간완전 유계 공간이라고 한다.

  • 임의의 측근 에 대하여, 인 유한 -덮개 , 가 존재한다.
  • 완비화콤팩트 공간이다.
  • 위의 모든 필터코시 부분 필터를 갖는다.
  • 위의 모든 극대 필터코시 필터이다.[1]

(이 조건들이 동치임을 보이는 것은 선택 공리를 필요로 한다.)

성질[편집]

완전 유계성은 완비화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 균등 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 완전 유계 공간이다.
  • 완비화 는 완전 유계 공간이다.

균등 공간에 대한 하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]

완전 유계 거리 공간[편집]

거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다. 거리 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]:275

  • 완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 에 대하여, 반지름이 열린 공들로 구성된 유한 -덮개가 존재한다.
  • 의 모든 점렬코시 부분 점렬을 갖는다.

즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다.

모든 완전 유계 거리 공간유계 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

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유클리드 공간부분 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

완전 유계 공간이 아닌 유계 공간[편집]

임의의 바나흐 공간의 단위 초구유계 공간이다. 그러나 임의의 바나흐 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

모든 (유한 또는 무한) 이산 거리 공간유계 공간이다. 그러나 임의의 이산 거리 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

참고 문헌[편집]

  1. Newns, W. F. (1954). “Sur les espaces uniformes précompacts”. 《Portugaliae mathematica》 (프랑스어) 13 (1): 33–34. MR 0066626. Zbl 0057.38902. 
  2. Frank, D. L. (1965). “A totally bounded, complete uniform space is compact”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 16: 514–514. doi:10.1090/S0002-9939-1965-0175088-5. ISSN 0002-9939. MR 0175088. 
  3. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 

바깥 고리[편집]