하이네-보렐 정리

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일반위상수학에서, 하이네-보렐 정리(영어: Heine-Borel theorem)는 균등 공간콤팩트 공간필요충분조건을 제시하는 정리이다.

정의[편집]

하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]

특히, 유클리드 공간부분 집합이라고 하자. 그렇다면, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

마찬가지로, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

따라서, 의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.

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위의 이산 거리 공간을 생각하자. 그 속의 부분 집합 유계 닫힌집합이며 완비 거리 공간이지만 완전 유계 공간이 아니며, 따라서 콤팩트 집합이 아니다.

역사[편집]

에두아르트 하이네에밀 보렐의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

  1. Frank, D. L. (1965). “A totally bounded, complete uniform space is compact”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 16: 514–514. doi:10.1090/S0002-9939-1965-0175088-5. ISSN 0002-9939. MR 0175088.