하이네-보렐 정리

일반위상수학에서 하이네-보렐 정리(영어: Heine-Borel theorem)는 균등 공간이 콤팩트 공간일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

정의

하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 콤팩트 공간이다.
• 완비 균등 공간이며, 완전 유계 공간이다.

특히, $X$가 유클리드 공간의 부분 집합이라고 하자. 그렇다면, $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완전 유계 공간이다.
• 유계 집합이다.

마찬가지로, $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완비 균등 공간이다.
• 닫힌집합이다.

따라서, $X$의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 콤팩트 공간이다.
• 유계 집합이며 닫힌집합이다.

예

$\mathbb {R}$ 위의 이산 거리 공간을 생각하자. 그 속의 부분 집합 $[0,1]$은 유계 닫힌집합이며 완비 거리 공간이지만 완전 유계 공간이 아니며, 따라서 콤팩트 집합이 아니다.

역사

에두아르트 하이네와 에밀 보렐의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Andre, Nicole R.; Engdahl, Susannah M.; Parker, Adam E. (2013년 8월). “An analysis of the first proofs of the Heine–Borel theorem”. 《Convergence》 (영어). doi:10.4169/loci003890. 
• Dugac, P. (1989). “Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet-Heine-Weierstrass-Borel-Schoenflies-Lebesgue”. 《Archives Internationales d’Histoire des Sciences》 (프랑스어) 39 (122): 69-110. ISSN 0003-9810. 
• Raman-Sundström, Manya (2014). “A pedagogical history of compactness” (영어). arXiv:1006.4131. Bibcode:2010arXiv1006.4131R.