평균값 정리

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c에서의 접선(초록색)은 a, b의 두 점을 잇는 직선(빨간색)과 평행한다. 초록색 직선은 빨간색 직선을 위로 천천히 평행이동해 곡선과 살짝만 닿게끔 한 것이다.

미적분학에서 평균값 정리(平均-定理, 영어: mean value theorem, MVT)는 대략 함수의 도중의 어떤 '순간변화율'(미분)이 '평균변화율'과 같다는 내용의 정리이다. 기하학적으로는 대략 두 끝점을 잇는 선과 기울기가 같은 접선이 두 끝점 사이에 존재한다는 의미이다.

평균값 정리는 미적분학의 뼈대를 떠받치는 중요한 정리이다. 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러의 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값고계도함수, 볼록함수, 역함수 등의 취급에도 응용된다.

일변수 미분 형태[편집]

[a, b]에서 연속, (a, b)에서 미분가능인 함수에게는, c에서의 접선이 두 끝점을 지나는 할선과 평행하게끔 하는 c(a, b)에 항상 존재한다.

함수 f : [a, b] \to \R가 만약 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분가능이라면,

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

를 만족하는 c(a, b)에 반드시 적어도 하나 존재한다.[1]

평균값의 정리는 롤의 정리를 일반화한 것으로 이해할 수 있다. 롤의 정리는 f(a) = f(b)일 때의 특별한 경우이다.

증명[편집]

평균값의 정리의 증명은 롤의 정리를 이용한다.

g(x) = f(x) - rx, \quad r = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

와 같이 정의한 함수 g(x)는 롤의 정리가 적용되므로

0 = g'(c) = f'(c) - r,

즉 위 등식을 만족하는 c \in (a, b)가 존재한다.

따름정리[편집]

다음은 평균값의 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.

  • 구간 I에 정의된 실수값함수 f가 만약 I에서 연속, I내부에서 미분가능하며 항상 f'(x) = 0이라면, fI에서 상수함수이다.
  • f,g : I \to \R가 만약 I에서 연속, 내부에선 항상 f'(x) = g'(x)라면, f,gI에서 상수 차이이다.
  • f : I \to \R가 만약 I에서 연속, 내부에선 항상 f'(x) \ge 0이라면, fI에서 단조증가한다.

이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다. I 내부의 임의의 두 점 a < b에 대해, f[a, b]에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 c \in (a, b)가 존재한다.

0 = f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

f(a) = f(b). 이로써 fI 내부에서 상수이다. 연속성에 의해 I 전체에서 상수다.

코시의 평균값 정리[편집]

곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다.

함수 f,g : [a, b] \to \R가 만약 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분가능하다면,

f'(c)(g(b) - g(a)) = g'(c)(f(b) - f(a))

c \in (a, b)가 존재한다. 따라서 만약 추가적으로 g'(c) \ne 0, g(a) \ne g(b)라면,

\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}

가 성립한다. (코시의 평균값 정리, 영어: Cauchy's mean value theorem, 확장된 평균값 정리, 영어: extended mean value theorem)

기하학적으로, 이는 매개변수 방정식으로 표현한 곡선

[a, b] \to \R^2
t \mapsto (f(t), g(t))

에 두 점 (f(a), g(a)),(f(b), g(b))에 의해 결정되는 직선에 평행하는 접선이 있다는 의미가 될 수 있겠지만, 코시의 평균값 정리가 이를 무조건적으로 보장하지는 않는다. f'(c) = g'(c) = 0 , 즉 c가 곡선의 정류점일 때에만 위 등식이 성립하는 경우가 있기 때문이다. 이러한 예로는 다음 곡선이 있다.

[-1, 1] \to \R
t \mapsto (t^3, 1 - t^2)

양끝 (-1,0),(1,0)의 연결선은 수평이나, 수평 접선은 없다. 정류점(동시에 첨점)이 t = 0하나 존재한다.

평균값 정리는 코시의 평균값 정리의 g(x) = x인 특별한 경우이다. 코시의 평균값 정리는 로피탈의 정리의 증명에 쓰인다.

코시의 평균값 정리 증명[편집]

롤의 정리가 적용되는 함수

h(x) = f(x)(g(b) - g(a)) - g(x)(f(b) - f(a))

를 만들면 다음이 어떤 c \in (a, b)에 대해 성립하므로 정리가 증명된다.

0 = h'(c) = f'(c)(g(b) - g(a)) - g'(c)(f(b) - f(a))

일변수 적분 형태[편집]

적분의 평균값 정리[편집]

함수 f : [a, b] \to \R가 만약 [a, b]에서 연속이라면,

\int_a^b f(x) \,dx = f(c)(b - a)

c \in (a, b)가 존재한다. (적분의 평균값 정리)

이는 중간값 정리에 의해 f평균값

\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \,dx

이 치역에 속하기 때문이다.

일반화된 적분의 평균값 정리[편집]

이를 함수의 '가중평균'에 대한 결론으로 일반화할 수 있다. 두 함수 f, g : [a, b] \to \R에 대해, 만약 f[a, b]에서 연속, g는 부호가 일정하고(즉 항상 g(x) \ge 0 또는 항상 g(x) \le 0 ) 적분가능하다면,

\int_a^b f(x)g(x) \,dx = f(c) \int_a^b g(x) \,dx

c \in [a, b]가 존재한다. (일반화된 적분의 평균값 정리)

일반화된 적분의 평균값 정리 증명[편집]

일반성을 잃지 않고 g(x) \ge 0라고 가정하고, 최대최소정리에 따라 존재하는 f의 최댓값, 최솟값을 M, m이라고 하면, 다음이 성립한다.

m \int_a^b g(x) \,dx \le \int_a^b f(x)g(x) \,dx \le M \int_a^b g(x) \,dx

I = \textstyle\int_a^b g(x) \,dx로 두고, I = 0라면, c를 임의로 취해도 원하는 조건을 만족한다. I \ne 0이라면, f의 가중평균

m \le \frac{1}{I} \int_a^b f(x)g(x) \,dx \le M

가 치역에 속하므로 정리가 성립한다.

상술 증명은 c가 닫힌 구간 [a, b]에 존재한다는 것에 대한 증명이며, 열린 구간 (a, b)에서의 존재성은 g(x)가 연속이라는 추가적 조건이 있으면 성립한다.

적분의 제2 평균값 정리[편집]

함수 f, g : [a, b] \to \R에 대해, g[a, b]에서 적분가능할 때,

  • 만약 f[a, b]에서 단조감소하고 항상 f(x) \ge 0이라면, 다음이 성립하도록 하는 c \in [a, b]가 존재한다.
    \int_a^b f(x)g(x) \,dx = f(a) \int_a^c g(x) \,dx
  • 만약 f[a, b]에서 단조롭다면, 다음이 성립하도록 하는 c \in [a, b]가 존재한다.
    \int_a^b f(x)g(x) \,dx = f(a) \int_a^c g(x) \,dx + f(b) \int_c^b g(x) \,dx (적분의 제2 평균값 정리)

적분의 제2 평균값 정리 증명[편집]

다음은 두 번째 명제의 g가 항상 \ge 0이거나 항상 \le 0인 경우에 대한 증명이다.

f를 편의상 단조증가로 가정하면

f(a) \int_a^b g(x) \,dx \le \int_a^b f(x)g(x) \,dx \le f(b) \int_a^b g(x) \,dx

가 성립한다. 이것을

h(t) = f(a) \int_a^t g(x) \,dx + f(b) \int_t^b g(x) \,dx

로 놓고 다시 쓰면

h(b) \le \int_a^b f(x)g(x) \,dx \le h(a)

와 같다. h(t)미적분학의 기본정리에 의하여 연속함수이다. 따라서 여기에 중간값의 정리를 적용하면 증명이 끝난다.

다변수 미분 형태[편집]

  • 정리 : n차 유클리드 공간 R^{n} 속의 열린집합 G에서 R^{m}으로 가는, G 위에서 미분가능한 함수 f를 생각하자. 둘 사이를 잇는 선분이 G의 부분집합인 두 원소 x, a에 대하여 임의의 R^{m} 내의 원소 k가 주어졌을 때,
\mathbf{k}\cdot(f(\mathbf{x})-f(\mathbf{a}))=\mathbf{k}\cdot(Df(\mathbf{c})(\mathbf{x}-\mathbf{a})) 를 만족하는 xa를 잇는 선분 상의 c가 존재한다.
  • 증명 : 실수값 함수 g를 g(t)=\mathbf{a}+t(\mathbf{x-a}) 와 같이 정의하자. 연쇄 법칙에 따라서, D(f\circ g)(t)=Df(g(t))(\mathbf{x-a})가 성립한다. 또 함수 F를 F(t)=\mathbf{u}\cdot(f\circ g)(t)로 정의하고, G는 열린집합이므로 실수축에서 적당한 길이의 길이 1인 [a, b]를 포함하는 구간 L을 선택하여, 함수 g와 F의 정의역을 L로 한정시킨다. 그러면 F는 L 위에서 미분가능하여 F'(t)=\mathbf{u}\cdot D(f\circ g)(t)=\mathbf{u}\cdot (Df(g(t))(\mathbf{x-a})를 만족한다. 이제 실 1변수 함수의 평균값 정리에 의해, \mathbf{u}\cdot (f(\mathbf{x})-f(\mathbf{a}))=F(b)-F(a)=F'(t_0)=\mathbf{u}\cdot (Df(g(t_0))(\mathbf{x-a})) 가 성립하는 t_0가 구간 [a, b]내에 존재하므로, g(t_0)=\mathbf{c}라 두면 증명이 끝난다.

볼록집합의 경우[편집]

특히 볼록집합에 대해서는 보다 1변수의 경우와 유사한 평균값 정리의 따름정리가 성립한다.

  • n차원 유클리드 공간 R^{n} 속의 열린집합 G에서 R로 가는, G 위에서 미분가능한 함수 f를 생각하자. 만약 G가 볼록집합이라면, G의 원소 a+h, a에 대하여 적당한 t가 (0, 1)에 존재하여 다음을 만족한다.
f(\mathbf{a}+\mathbf{h})-f(\mathbf{a})=Df(\mathbf{a}+t\mathbf{h})\mathbf{h}.

볼록집합이 아닌 경우 이상의 꼴은 일반적으로 성립하지 않는다.

복소 적분 형태[편집]

  • 정리 : 복소평면 상에서 어떤 점 z_0을 중심으로 하는 반지름 r 내에서 정칙인 함수 f에 대하여,
f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0+re^{it}) \,dt 가 성립한다. 이것을 가우스의 평균값 정리라고 한다.

f(z)=u(z)+iv(z)일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리라고 한다.

u(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(z_0+re^{it}) \,dt

역사[편집]

이 정리의 최초의 입안자는 인도바타세리 파라메슈바라(Vatasseri Parameshvara)로 기록되어 있으며[2] 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Eric Wolfgang Weisstein. “평균값 정리”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
  2. J. J. O'Connor, E. F. Robertson (2000). 영어: Paramesvara를 보라

참고 문헌[편집]

  • 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
  • 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 
  • Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
  • James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7.