(a , f (a ))와 (b , f (b ))의 연결선을 아래로 평행 이동하여 어떤 점 c 에서의 접선을 얻을 수 있다.
미적분학 에서 평균값 정리 (平均-定理, 영어 : mean value theorem, MVT )는 대략 구간에 정의된 함수 는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다는 정리이다. 기하학 적 관점에서, 이는 곡선이 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선을 갖는다는 것과 같다.[1] 롤의 정리 로부터 유도되며, 테일러 정리 를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리 를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수 의 취급에도 응용된다.
롤의 정리 [ 편집 ]
함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
가
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
에서 연속 함수 ,
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
에서 미분 가능 함수 라고 하자. 또한,
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
라고 하자. 그렇다면,
f
′
(
c
)
=
0
{\displaystyle f'(c)=0}
인
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
가 존재한다. 이를 롤의 정리 라고 한다.
평균값 정리 [ 편집 ]
함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
가
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
에서 연속 함수 ,
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
에서 미분 가능 함수 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
가 적어도 하나 존재한다.[2] [3]
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
이를 평균값 정리 라고 한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
인 특수한 경우이다.
코시 평균값 정리 [ 편집 ]
곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다.
함수
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
가
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
에서 연속 함수 ,
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
에서 미분 가능 함수 라고 하자. 또한,
g
′
≠
0
{\displaystyle g'\neq 0}
라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
가 존재한다.
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}
이를 코시 평균값 정리 (영어 : Cauchy's mean value theorem ) 또는 확장된 평균값 정리 (영어 : extended mean value theorem )라고 한다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서
g
(
x
)
=
x
{\displaystyle g(x)=x}
인 특수한 경우이다.
기하학적 관점에서, 코시 평균값 정리는 평균값 정리를 함수의 그래프에서 미분 가능 단순 곡선 까지 확장시킨 결과이다. 그러나 곡선의 임계점 이 존재하지 않는다는 조건을 제거하면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선
[
−
1
,
1
]
→
R
2
{\displaystyle [-1,1]\to \mathbb {R} ^{2}}
,
t
↦
(
t
3
,
1
−
t
2
)
{\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})}
의 경우, 양 끝점
(
−
1
,
0
)
,
(
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0),(1,0)}
의 연결선은 수평선이지만, 수평 접선은 존재하지 않는다.
행렬식 평균값 정리 [ 편집 ]
함수
f
,
g
,
h
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g,h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
가
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
에서 연속 함수 ,
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
에서 미분 가능 함수 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle x\in (a,b)}
가 존재한다.
|
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
h
′
(
x
)
f
(
a
)
g
(
a
)
h
(
a
)
f
(
b
)
g
(
b
)
h
(
b
)
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}=0}
코시 평균값 정리는 여기서
h
(
x
)
=
1
{\displaystyle h(x)=1}
을 취한 특수한 경우이다.
다음과 같은 함수에 롤의 정리를 적용하여 증명할 수 있다.
D
(
x
)
=
|
f
(
x
)
g
(
x
)
h
(
x
)
f
(
a
)
g
(
a
)
h
(
a
)
f
(
b
)
g
(
b
)
h
(
b
)
|
{\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}
다변수 함수의 경우 [ 편집 ]
함수
f
:
U
→
R
{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }
가 열린집합
U
⊆
R
n
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
에서 미분 가능 함수 라고 하자. 또한, 임의의
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]}
에 대하여,
(
1
−
t
)
x
+
t
y
∈
U
{\displaystyle (1-t)\mathbf {x} +t\mathbf {y} \in U}
라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는
t
0
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle t_{0}\in (0,1)}
가 존재한다.
f
(
y
)
−
f
(
x
)
=
∇
f
(
(
1
−
t
0
)
x
+
t
0
y
)
⋅
(
y
−
x
)
{\displaystyle f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )=\nabla f((1-t_{0})\mathbf {x} +t_{0}\mathbf {y} )\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {x} )}
일변수 함수에 대한 평균값 정리는 여기서
n
=
1
{\displaystyle n=1}
을 취한 특수한 경우이다.
적분 평균값 정리 [ 편집 ]
제1 적분 평균값 정리 [ 편집 ]
연속 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
에 대하여, 다음을 만족시키는
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
가 존재한다.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
f
(
c
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)}
보다 일반적으로, 두 함수
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
가
f
{\displaystyle f}
는 연속 함수,
g
{\displaystyle g}
는 부호가 일정한 (즉,
g
≥
0
{\displaystyle g\geq 0}
이거나
g
≤
0
{\displaystyle g\leq 0}
인) 적분 가능 함수라고 하자. 그렇다면 다음을 만족시키는
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in [a,b]}
가 존재한다.
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
c
)
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)dx}
만약 추가로
g
{\displaystyle g}
가 연속 함수라면, 위의 조건을 만족시키는
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
가 존재한다. 이 두 정리는 각각 함수의 평균값 과 가중 평균값 이 그 함수의 치역에 속한다는 의미이다.
일반성을 잃지 않고,
g
≥
0
{\displaystyle g\geq 0}
라고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
min
f
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
≤
max
f
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \min f\int _{a}^{b}g(x)dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq \max f\int _{a}^{b}g(x)dx}
만약
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)dx=0}
이라면,
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0}
이며, 임의의
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
를 취하면 된다. 만약
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≠
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)dx\neq 0}
이라면,
min
f
≤
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≤
max
f
{\displaystyle \min f\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int _{a}^{b}g(x)dx}}\leq \max f}
이므로, 중간값 정리 에 따라 성립한다. 추가로
g
{\displaystyle g}
가 연속 함수라면, 엄격 부등식이 성립함을 보일 수 있으므로,
c
{\displaystyle c}
를
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
에서 취할 수 있다.
제2 적분 평균값 정리 [ 편집 ]
두 함수
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
가 주어졌고,
g
{\displaystyle g}
는 적분 가능 함수라고 하자.
만약
f
{\displaystyle f}
가 감소 함수이며,
f
≥
0
{\displaystyle f\geq 0}
이라면, 다음을 만족시키는
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in [a,b]}
가 존재한다.
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
a
)
∫
a
c
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int _{a}^{c}g(x)dx}
만약
f
{\displaystyle f}
가 단조함수 라면, 다음을 만족시키는
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in [a,b]}
가 존재한다.
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
a
)
∫
a
c
g
(
x
)
d
x
+
f
(
b
)
∫
c
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int _{a}^{c}g(x)dx+f(b)\int _{c}^{b}g(x)dx}
복소 적분 형태 [ 편집 ]
복소평면 상에서 어떤 점
z
0
{\displaystyle z_{0}}
을 중심으로 하는 반지름
r
{\displaystyle r}
인 원 내에서 정칙 인 함수
f
{\displaystyle f}
에 대하여,
f
(
z
0
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
z
0
+
r
e
i
t
)
d
t
{\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{it})dt}
가 성립한다. 이것을 가우스의 평균값 정리 라고 한다.
f
(
z
)
=
u
(
z
)
+
i
v
(
z
)
{\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}
일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리 라고 한다.
u
(
z
0
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
u
(
z
0
+
r
e
i
t
)
d
t
{\displaystyle u(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(z_{0}+re^{it})dt}
다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.
구간
I
{\displaystyle I}
에 정의된 실수값함수
f
{\displaystyle f}
가 만약
I
{\displaystyle I}
에서 연속,
I
{\displaystyle I}
의 내부 에서 미분 가능하며 항상
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0}
이라면,
f
{\displaystyle f}
는
I
{\displaystyle I}
에서 상수함수 이다.
f
,
g
:
I
→
R
{\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} }
가 만약
I
{\displaystyle I}
에서 연속, 내부에선 항상
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)=g'(x)}
라면,
f
,
g
{\displaystyle f,g}
는
I
{\displaystyle I}
에서 상수 차이이다.
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }
가 만약
I
{\displaystyle I}
에서 연속, 내부에선 항상
f
′
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f'(x)\geq 0}
이라면,
f
{\displaystyle f}
는
I
{\displaystyle I}
에서 단조증가 한다.
이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다.
I
{\displaystyle I}
내부의 임의의 두 점
a
<
b
{\displaystyle a<b}
에 대해,
f
{\displaystyle f}
는
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
가 존재한다.
0
=
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
{\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
즉
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
. 이로써
f
{\displaystyle f}
는
I
{\displaystyle I}
내부에서 상수이다. 연속성에 의해
I
{\displaystyle I}
전체에서 상수다.
이 정리의 최초의 입안자는 인도 의 Vatasseri Parameshvara로 기록되어 있으며[4] 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시 이다.
같이 보기 [ 편집 ]
참고 문헌 [ 편집 ]
고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8 .
Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7 .
외부 링크 [ 편집 ]