평균값 정리

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(a, f(a))와 (b, f(b))의 연결선을 아래로 평행 이동하여 어떤 점 c에서의 접선을 얻을 수 있다.

미적분학에서, 평균값 정리(平均-定理, 영어: mean value theorem, MVT)는 대략 구간에 정의된 함수는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다는 정리이다. 기하학적 관점에서, 이는 곡선이 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선을 갖는다는 것과 같다.[1] 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다.

정의[편집]

롤의 정리[편집]

함수 에서 연속 함수, 에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, 라고 하자. 그렇다면, 가 존재한다. 이를 롤의 정리라고 한다.

평균값 정리[편집]

함수 에서 연속 함수, 에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 적어도 하나 존재한다.[2][3]

이를 평균값 정리라고 한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 인 특수한 경우이다.

증명:

함수 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 롤의 정리의 조건을 다음과 같이 만족시킨다.

따라서, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

코시 평균값 정리[편집]

곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다.

함수 에서 연속 함수, 에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

이를 코시 평균값 정리(영어: Cauchy's mean value theorem) 또는 확장된 평균값 정리(영어: extended mean value theorem)라고 한다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 인 특수한 경우이다.

기하학적 관점에서, 코시 평균값 정리는 평균값 정리를 함수의 그래프에서 미분 가능 단순 곡선까지 확장시킨 결과이다. 그러나 곡선의 임계점이 존재하지 않는다는 조건을 제거하면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선 , 의 경우, 양 끝점 의 연결선은 수평선이지만, 수평 접선은 존재하지 않는다.

증명:

함수 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 롤의 정리의 조건을 다음과 같이 만족시킨다.

따라서, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

행렬식 평균값 정리[편집]

함수 에서 연속 함수, 에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

코시 평균값 정리는 여기서 을 취한 특수한 경우이다.

증명:

다음과 같은 함수에 롤의 정리를 적용하여 증명할 수 있다.

다변수 함수의 경우[편집]

함수 열린집합 에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, 임의의 에 대하여, 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

일변수 함수에 대한 평균값 정리는 여기서 을 취한 특수한 경우이다.

증명:

함수 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 (일변수 함수에 대한) 평균값 정리의 조건을 만족시킨다. 따라서, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

적분 평균값 정리[편집]

제1 적분 평균값 정리[편집]

연속 함수 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

보다 일반적으로, 두 함수 는 연속 함수, 는 부호가 일정한 (즉, 이거나 인) 적분 가능 함수라고 하자. 그렇다면 다음을 만족시키는 가 존재한다.

이 증명은 실력정석 미적분II 연습문제 12-28에 나온다.

만약 추가로 가 연속 함수라면, 위의 조건을 만족시키는 가 존재한다. 이 두 정리는 각각 함수의 평균값가중 평균값이 그 함수의 치역에 속한다는 의미이다.

증명:

일반성을 잃지 않고, 라고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

만약

이라면,

이며, 임의의 를 취하면 된다. 만약

이라면,

이므로, 중간값 정리에 따라 성립한다. 추가로 가 연속 함수라면, 엄격 부등식이 성립함을 보일 수 있으므로, 에서 취할 수 있다.

제2 적분 평균값 정리[편집]

두 함수 가 주어졌고, 는 적분 가능 함수라고 하자.

  • 만약 가 감소 함수이며, 이라면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
  • 만약 단조함수라면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

증명:

다음은 두 번째 명제의 가 항상 이거나 항상 인 경우에 대한 증명이다. 를 편의상 단조증가로 가정하면

가 성립한다. 이것을

로 놓고 다시 쓰면

와 같다. 미적분학의 기본정리에 의하여 연속함수이다. 따라서 여기에 중간값 정리를 적용하면 증명이 끝난다.

복소 적분 형태[편집]

복소평면 상에서 어떤 점 을 중심으로 하는 반지름 내에서 정칙인 함수 에 대하여,

가 성립한다. 이것을 가우스의 평균값 정리라고 한다.

증명:

코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다.

일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리라고 한다.

응용[편집]

다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.

  • 구간 에 정의된 실수값함수 가 만약 에서 연속, 내부에서 미분 가능하며 항상 이라면, 에서 상수함수이다.
  • 가 만약 에서 연속, 내부에선 항상 라면, 에서 상수 차이이다.
  • 가 만약 에서 연속, 내부에선 항상 이라면, 에서 단조증가한다.

이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다. 내부의 임의의 두 점 에 대해, 에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 가 존재한다.

. 이로써 내부에서 상수이다. 연속성에 의해 전체에서 상수다.

역사[편집]

이 정리의 최초의 입안자는 인도바타세리 파라메슈바라(Vatasseri Parameshvara)로 기록되어 있으며[4] 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 정용욱, 대학수학, 기전연구사, 2008, ISBN 8933607714, 115-120 쪽
  2. Weisstein, Eric Wolfgang. “Mean-Value Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
  3. Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 17쪽. ISBN 978-89-966211-8-8. 
  4. J. J. O'Connor, E. F. Robertson (2000). 영어: Paramesvara를 보라

참고 문헌[편집]

  • 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
  • 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 
  • Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
  • James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7. 

외부 링크[편집]