평균값 정리

(a, f(a))와 (b, f(b))의 연결선을 아래로 평행 이동하여 어떤 점 c에서의 접선을 얻을 수 있다.

미적분학에서 평균값 정리(平均-定理, 영어: mean value theorem, MVT)는 대략 구간에 정의된 함수는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다는 정리이다. 기하학적 관점에서, 이는 곡선이 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선을 갖는다는 것과 같다. 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다.

정의

롤의 정리

 이 부분의 본문은 롤의 정리입니다.

함수 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$가 $[a,b]$에서 연속 함수, $(a,b)$에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, $f(a)=f(b)$라고 하자. 그렇다면, $f'(c)=0$인 $c\in (a,b)$가 존재한다. 이를 롤의 정리라고 한다.

평균값 정리

함수 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$가 $[a,b]$에서 연속 함수, $(a,b)$에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 적어도 하나 존재한다.

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

이를 평균값 정리라고 한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 $f(a)=f(b)$인 특수한 경우이다.

증명:

함수 $g\colon [a,b]\to \mathbb {R}$를 $f(x)$에서 양 끝점을 지나는 직선을 뺀 함수로, 다음과 같이 정의하자.

$g(x)=f(x)-({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)+f(a))$

그렇다면, $g$는 롤의 정리의 조건을 다음과 같이 만족시킨다.

$g(a)=g(b)=0$

따라서, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$0=g'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

코시 평균값 정리

곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다.

함수 $f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R}$가 $[a,b]$에서 연속 함수, $(a,b)$에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, $g'\neq 0$라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$

이를 코시 평균값 정리(영어: Cauchy's mean value theorem) 또는 확장된 평균값 정리(영어: extended mean value theorem)라고 한다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 $g(x)=x$인 특수한 경우이다.

기하학적 관점에서, 코시 평균값 정리는 평균값 정리를 함수의 그래프에서 미분 가능 단순 곡선까지 확장시킨 결과이다. 그러나 곡선의 임계점이 존재하지 않는다는 조건을 제거하면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선 $[-1,1]\to \mathbb {R} ^{2}$, $t\mapsto (t^{3},1-t^{2})$의 경우, 양 끝점 $(-1,0),(1,0)$의 연결선은 수평선이지만, 수평 접선은 존재하지 않는다.

증명:

함수 $h\colon [a,b]\to \mathbb {R}$를 다음과 같이 정의하자.

$h(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))$

그렇다면, $h$는 롤의 정리의 조건을 다음과 같이 만족시킨다.

$h(a)=h(b)=0$

따라서, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$0=h'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)$

행렬식 평균값 정리

함수 $f,g,h\colon [a,b]\to \mathbb {R}$가 $[a,b]$에서 연속 함수, $(a,b)$에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $x\in (a,b)$가 존재한다.

${\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}=0$

코시 평균값 정리는 여기서 $h(x)=1$을 취한 특수한 경우이다.

증명:

다음과 같은 함수에 롤의 정리를 적용하여 증명할 수 있다.

$D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}$

다변수 함수의 경우

함수 $f\colon U\to \mathbb {R}$가 열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, 임의의 $t\in [0,1]$에 대하여, $(1-t)\mathbf {x} +t\mathbf {y} \in U$라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $t_{0}\in (0,1)$가 존재한다.

$f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )=\nabla f((1-t_{0})\mathbf {x} +t_{0}\mathbf {y} )\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {x} )$

일변수 함수에 대한 평균값 정리는 여기서 $n=1$을 취한 특수한 경우이다.

증명:

함수 $g\colon [0,1]\to \mathbb {R}$를 다음과 같이 정의하자.

$g(t)=f((1-t)\mathbf {x} +t\mathbf {y} )$

그렇다면, $g$는 (일변수 함수에 대한) 평균값 정리의 조건을 만족시킨다. 따라서, 다음을 만족시키는 $t_{0}\in (0,1)$가 존재한다.

$0=g'(t_{0})=f'(g(t_{0}))\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {x} )$

적분 평균값 정리

제1 적분 평균값 정리

연속 함수 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$

보다 일반적으로, 두 함수 $f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R}$가 $f$는 연속 함수, $g$는 부호가 일정한 (즉, $g\geq 0$이거나 $g\leq 0$인) 적분 가능 함수라고 하자. 그렇다면 다음을 만족시키는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)dx$

만약 추가로 $g$가 연속 함수라면, 위의 조건을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다. 이 두 정리는 각각 함수의 평균값과 가중 평균값이 그 함수의 치역에 속한다는 의미이다.

증명:

일반성을 잃지 않고, $g\geq 0$라고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\min f\int _{a}^{b}g(x)dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq \max f\int _{a}^{b}g(x)dx$

만약

$\int _{a}^{b}g(x)dx=0$

이라면,

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$

이며, 임의의 $c\in (a,b)$를 취하면 된다. 만약

$\int _{a}^{b}g(x)dx\neq 0$

이라면,

$\min f\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int _{a}^{b}g(x)dx}}\leq \max f$

이므로, 중간값 정리에 따라 성립한다. 추가로 $g$가 연속 함수라면, 엄격 부등식이 성립함을 보일 수 있으므로, $c$를 $(a,b)$에서 취할 수 있다.

제2 적분 평균값 정리

두 함수 $f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R}$가 주어졌고, $g$는 적분 가능 함수라고 하자.

• 만약 $f$가 감소 함수이며, $f\geq 0$이라면, 다음을 만족시키는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

  $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int _{a}^{c}g(x)dx$

• 만약 $f$가 단조함수라면, 다음을 만족시키는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

  $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int _{a}^{c}g(x)dx+f(b)\int _{c}^{b}g(x)dx$

증명:

다음은 두 번째 명제의 $g$가 항상 $\geq 0$이거나 항상 $\leq 0$인 경우에 대한 증명이다. $f$를 편의상 단조증가로 가정하면

$f(a)\int _{a}^{b}g(x)dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq f(b)\int _{a}^{b}g(x)dx$

가 성립한다. 이것을

$h(t)=f(a)\int _{a}^{t}g(x)dx+f(b)\int _{t}^{b}g(x)dx$

로 놓고 다시 쓰면

$h(b)\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq h(a)$

와 같다. $h(t)$는 미적분학의 기본정리에 의하여 연속함수이다. 따라서 여기에 중간값 정리를 적용하면 증명이 끝난다.

복소 적분 형태

복소평면 상에서 어떤 점 $z_{0}$을 중심으로 하는 반지름 $r$인 원 내에서 정칙인 함수 $f$에 대하여,

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{it})dt$ 가 성립한다. 이것을 가우스의 평균값 정리라고 한다.

증명:

코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다.

$f(z)=u(z)+iv(z)$일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리라고 한다.

$u(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(z_{0}+re^{it})dt$

응용

다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.

• 구간 $I$에 정의된 실수값함수 $f$가 만약 $I$에서 연속, $I$의 내부에서 미분 가능하며 항상 $f'(x)=0$이라면, $f$는 $I$에서 상수함수이다.
• $f,g\colon I\to \mathbb {R}$가 만약 $I$에서 연속, 내부에선 항상 $f'(x)=g'(x)$라면, $f,g$는 $I$에서 상수 차이이다.
• $f\colon I\to \mathbb {R}$가 만약 $I$에서 연속, 내부에선 항상 $f'(x)\geq 0$이라면, $f$는 $I$에서 단조증가한다.

이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다. $I$ 내부의 임의의 두 점 $a<b$에 대해, $f$는 $[a,b]$에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

즉 $f(a)=f(b)$. 이로써 $f$는 $I$ 내부에서 상수이다. 연속성에 의해 $I$ 전체에서 상수다.

역사

이 정리의 최초의 입안자는 인도의 Vatasseri Parameshvara로 기록되어 있으며 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.

같이 보기

• 조화 함수
• 테일러 급수

참고 문헌

• 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
• 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 
• Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
• James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7. 

외부 링크

• “Mean value theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Mean-value theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy's mean-value theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Extended mean-value theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Mean value theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Mean-value theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of mean value theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “mean-value theorem for several variables”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Complex mean-value theorem”. 《PlanetMath》 (영어).