정칙함수

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정칙함수(holomorphic function)는 복소해석학의 중심 대상으로, 복소평면열린 부분집합에서 복소평면으로 가는, 정의역의 모든 점에서 복소 미분가능한 함수를 말한다. 아래에서 정의할 '복소 미분가능성'은 실함수의 미분가능성보다 훨씬 강한 조건으로, 복소 미분가능한 함수는 무한번 미분 가능하며, 자신의 테일러 급수와 일치한다. (해석함수 문서의 내용과 비교할 것.) 어떤 함수가 "점 a에서 복소해석적이다"라는 말은 이 함수가 점 a에서만 미분가능한 것이 아니라 그 점의 적당한 열린 근방에서 미분가능하다는 뜻이다.


정의[편집]

U가 C의 열린 부분집합이고, f : U → C가 U 상의 복소함수이며, z0가 U에 속하는 점일 때, 아래의 극한

f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }

이 존재하면 f가 z0에서 '복소 미분가능하다'고 한다.

여기에서 극한은 복소평면 상에서 z0으로 접근하는 모든 수열에 대해 계산되는 것으로, 실수의 경우에 비해 특정한 점에 접근할 수 있는 방법이 훨씬 더 많기 때문에 복소 미분가능성은 실 미분가능성에 비해 훨씬 강한 조건이 된다. 복소 미분은 실함수의 미분과 마찬가지로 선형적이며 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙 등을 똑같이 만족시킨다.

f가 열린 집합 U의 모든 점에서 복소 미분가능하면 이를 'U 상에서 정칙이다'라고 한다. 또한 f가 z0를 포함하는 적절한 근방에서 정칙이면 이를 'z0에서 정칙이다'라고 하며, 보다 일반적으로 A가 임의의 C의 부분집합일 때 f가 A를 포함하는 적절한 근방에서 정칙이면 이를 'A에서 정칙이다'라고 한다.

전해석함수[편집]

복소평면 전체에서 정칙인 함수를 전해석함수(entire function)라고 한다. 다항함수지수함수는 정칙함수이며, 정칙함수들의 합이나 곱, 합성 등도 마찬가지이지만, 자연 로그제곱근 함수는 정칙함수가 아니다.

정칙함수는 무한대 점에서 특이점을 가질 수 있으며, 이는 심지어 본질적 특이점일 수도 있다. 후자의 경우 이 함수를 초월적 전해석함수라 한다. 리우빌의 정리의 간단한 따름정리로 리만 구(복소평면에 무한대 점을 추가한 것) 전체에서 복소해석적인 함수는 상수함수 뿐임을 알 수 있다.

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