상수 함수

수학에서 상수 함수(常數函數, 영어: constant function)는 정의역의 값에 관계없이 항상 같은 값을 갖는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 $f(x)=3$은 $x$의 값이 무엇이든 항상 3이라는 값을 갖는다.

정의

정의역 $X$와 공역 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 $f$를 상수 함수라고 한다.

• 임의의 $x,x'\in X$에 대하여 $f(x)=f(x')$이다.
• 임의의 $x\in X$에 대하여 $f(x)=y$가 되는 $y\in Y$가 존재하며, $y$는 $x$에 의존하지 않는다.
• $X$가 공집합이거나, 또는 임의의 $x\in X$에 대하여 $f(x)=y$가 되는, $x$에 의존하지 않는 $y\in Y$가 유일하게 존재한다.
• $X$에 비이산 위상을 부여하고, $Y$에 이산 위상을 부여하였을 때, $f$는 연속 함수이다.

정의역 $X$와 공역 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$가 주어졌다고 하고, 정의역 $X$에 위상 공간의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 $f$를 국소 상수 함수(局所常數函數, 영어: locally constant function)라고 한다.

• 만약 임의의 $x\in X$에 대하여, $f|_{U}$가 상수 함수가 되는 근방 $U\ni x$가 존재한다.
• $Y$에 이산 위상을 부여하였을 때, $f$는 연속 함수이다.

상수 사상

상수 함수의 개념을 집합의 범주에서 임의의 범주로 일반화할 수 있다.

범주 ${\mathcal {C}}$에서, 사상 $f\colon X\to Y$가 다음 조건을 만족시키면 상수 사상(영어: constant morphism)이라고 한다.

• 임의의 대상 $W\in {\mathcal {C}}$ 및 사상 $g,h\colon W\to X$에 대하여, $f\circ g=f\circ h$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

  ${\begin{matrix}W&\xrightarrow {h} &X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\X&{\xrightarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}$

범주 ${\mathcal {C}}$에서, 사상 $f\colon X\to Y$가 다음 조건을 만족시키면 쌍대 상수 사상(영어: coconstant morphism)이라고 한다.

• 임의의 대상 $W\in {\mathcal {C}}$ 및 사상 $g,h\colon X\to W$에 대하여, $g\circ f=h\circ f$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

  ${\begin{matrix}W&{\xleftarrow {h}}&X\\{\scriptstyle g}\uparrow &&\uparrow \scriptstyle f\\X&{\xleftarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}$

상수 사상이자 쌍대 상수 사상인 사상을 영 사상(영어: zero morphism)이라고 한다.

범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 임의의 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$에 대하여 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 $0_{XY}\colon X\to Y$가 존재한다면, ${\mathcal {C}}$를

영 사상을 갖는 범주(영어: category with zero morphisms)라고 한다.

• 임의의 대상 $X,Y,Z\in {\mathcal {C}}$ 및 사상 $X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z$에 대하여,

  ${\begin{matrix}X&{\xrightarrow {0_{XY}}}&Y\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \scriptstyle 0_{XZ}&\downarrow \scriptstyle f\\Y&{\xrightarrow[{0_{YZ}}]{}}&Z\end{matrix}}$

이 경우, $0_{XY}$들은 항상 영 사상을 이루며, 또한 주어진 범주가 영 대상을 갖는 범주라면 그 위의 $0_{XY}$들의 집합은 유일하다. 영 사상을 갖는 범주의 개념은 점을 가진 집합의 (분쇄곱을 통한) 모노이드 범주 위의 풍성한 범주의 개념과 일치하며, 두 대상 사이의 영 사상은 점을 가진 사상 집합의 점과 같다.

성질

두 매끄러운 다양체 $M$, $N$ 사이의 매끄러운 함수 $f\colon M\to \mathbb {R}$는 미분을 취할 수 있다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$의 도함수 $Df$는 어디서나 0이다.
• $f$는 상수 함수이다.

상수 함수는 (정의역에 주어진 위상에 상관없이) 국소 상수 함수이다. 또한, 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 상수 함수이다.
• $X$에 비이산 위상을 부여하였을 때, $X$는 국소 상수 함수이다.
• $X$에 임의의 위상을 부여하였을 때, $X$는 국소 상수 함수이다.

즉, 국소 상수 함수의 개념은 상수 함수의 개념의 일반화이다.

위상 공간 $X$ 위의 국소 상수 함수 $f\colon X\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$의 모든 연결 성분 $X_{0}$에 대하여, $f|_{X_{0}}$는 상수 함수이다. 만약 $X$가 국소 연결 공간이라면 연결 성분이 열린집합을 이루며, 따라서 임의의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 국소 상수 함수이다.
• $X$의 임의의 연결 성분 $X_{0}\subset X$에 대하여, $f|_{X_{0}}$는 상수 함수이다.

국소 상수 함수의 층

위상 공간 $X$ 위에, 실수 값의 상수 함수들의 준층을 정의할 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 층이 아니며, 그 층화는 실수 값의 국소 상수 함수들의 층이다.

상수 사상의 존재

끝 대상 $1$을 갖는 범주에서, 상수 사상은 $X\to 1\to Y$의 꼴의 사상들이다. 시작 대상 $0$을 갖는 범주에서, 쌍대 상수 사상은 $X\to 0\to Y$의 꼴의 사상들이다.

영 대상을 갖는 범주는 영 사상을 갖는 범주를 이룬다. 이 경우, 두 대상 $X,Y$ 사이의 사상은 영 대상을 통하는 유일한 사상

$X\to 0\to Y$

이다.

예

정의역이 이산 공간인 모든 함수는 국소 상수 함수이다.

공역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다. 정의역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다.

상수 사상의 예

집합의 범주에서, 상수 사상은 상수 함수이다. 집합의 범주에서 쌍대 상수 사상은 공집합을 정의역으로 하는 함수이다.

군의 범주에서, 상수 사상 · 쌍대 상수 사상 · 영 사상의 개념이 일치하며, 이는 상이 항등원 1인 상수 함수이다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군들의 범주 $R{\text{-Mod}}$는 영 대상을 갖는 범주이며 따라서 영 사상을 갖는다. $R{\text{-Mod}}$에서 영 사상은 0(가군 덧셈의 항등원)으로 가는 상수 함수이다. 가군 범주에서 상수 함수인 준동형은 영 사상밖에 없다.

같이 보기

• 상수층

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Constant function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Constant map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Zero map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Constant map”. 《nLab》 (영어). 
• “Locally constant function”. 《nLab》 (영어). 
• “Zero function”. 《nLab》 (영어). 
• “Constant morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Constant functor”. 《nLab》 (영어).