분쇄곱

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대수적 위상수학에서, 분쇄곱(粉碎-, 영어: smash product)은 두 위상 공간의 곱을 취하는 방법의 하나다. 점을 가진 공간의 범주의 텐서곱을 이룬다.

정의[편집]

점을 가진 공간들로 구성된 범주 \mathcal C_\bullet 속의 두 대상 (X,x_0), (Y,y_0)이 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 둘의 분쇄곱 X\wedge Y는 다음과 같다.

X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y)

여기서 X\times Y\mathcal C_\bullet에서의 범주론적 곱이고, X\vee Y쐐기합이다. 이는 X\times\{y_0\}\cup\{x_0\}\times Y\subset X\times Y에 해당한다.

분쇄곱의 구체적 정의는 사용하는 범주 \mathcal C_\bullet에 따라 달라진다. 만약 모든 점을 가진 공간의 범주 \operatorname{Top}_\bullet을 사용한다면, 분쇄곱은 결합 법칙을 따르지 않게 된다. 대신 콤팩트 생성 공간의 범주나 점렬 공간의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이루며, 이러한 범주(의 점을 가진 범주)를 사용하게 되면 결합 법칙을 따르게 된다. 다만, 이러한 범주에서는 곱집합 위의 위상이 곱공간 위상과 일반적으로 다르다.

성질[편집]

점을 가진 공간의 범주에서의 분쇄곱은 교환 법칙을 따르고, 대부분의 위상 공간에 대하여 결합 법칙을 따른다. 다만, 특수한 경우에는 결합 법칙이 깨질 수 있다.

점을 가진 공간의 적절한 데카르트 닫힌 범주 (하우스도르프 콤팩트 생성 공간 등) \mathcal C에서, 범주론적 곱텐서곱을 이룬다. (이는 항상 곱집합 위의 위상 공간이지만, 범주에 따라서 곱공간과 다를 수 있다.) 즉, 위상 공간 X\in\mathcal C에 대하여 다음과 같은 수반 함자가 존재한다.

(-\times X)\dashv\hom(X,-)

이 범주 \mathcal C에 대하여 점을 가진 공간의 범주 \mathcal C_\bullet을 취하자. 이 점을 가진 범주에서의 텐서곱은 분쇄곱이다. 즉, 점을 가진 공간 X\in\mathcal C에 대하여 다음과 같은 수반 함자가 존재한다.

(-\wedge X)\dashv\hom(X,-)

구체적으로, 다음과 같은 함수 공간의 위상 동형이 존재한다.

\hom(A\wedge X,B)\cong\hom(A,\hom(X,B))

따라서, 분쇄곱을 통해 \mathcal C_\bullet닫힌 모노이드 범주를 이룬다.

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초구들의 분쇄곱은 또다른 초구다. 즉,

S^m\wedge S^n=S^{m+n}

이다. 또한, 0차원 초구 S^0=\{\bullet\}\sqcup\{\bullet\}는 분쇄곱의 항등원이다.

X\wedge S^0=X

결합 법칙의 실패[편집]

자연수 집합 \mathbb N유리수 집합 \mathbb Q에 표준적인 위상(즉, 실직선의 부분 공간 위상)을 부여하자. 또, 각 집합에 0을 밑점으로 삼자. 그렇다면 \mathbb N\wedge(\mathbb Q\wedge\mathbb Q)(\mathbb N\wedge\mathbb Q)\wedge\mathbb Q는 서로 위상 동형이 아니다.[1]:336[2]:§1.7 이 경우, 표준적인 전단사 연속 함수

\mathbb N\wedge(\mathbb Q\wedge\mathbb Q)\to(\mathbb N\wedge\mathbb Q)\wedge\mathbb Q

가 존재하지만, 그 역함수연속 함수가 아니다. 즉, \mathbb N\wedge(\mathbb Q\wedge\mathbb Q)가 더 섬세한 위상을 가진다.

참고 문헌[편집]

  1. Puppe, Dieter (1958). “Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen I”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 69 (1): 299–344. doi:10.1007/BF01187411. ISSN 0025-5874. 
  2. May, J. P.; Sigurdsson, J. 《Parametrized Homotopy Theory》 (PDF) (영어). 

바깥 고리[편집]