분쇄곱

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위상수학에서, 분쇄곱(粉碎-, 영어: smash product)은 두 위상공간의 곱을 취하는 방법의 하나다. 단순한 곱공간보다 호모토피 이론에서 쓰기 더 편리하다.

정의[편집]

(X,x_0)(Y,y_0)가 각각 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 이 둘의 분쇄곱 X\wedge Y는 다음과 같다.

X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y)

여기서 X\times Y곱공간이고, X\vee Y쐐기합으로, 이는 X\times\{y_0\}\cup\{x_0\}\times Y\subset X\times Y에 해당한다.

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초구들의 분쇄곱은 또다른 초구다. 즉,

S^m\wedge S^n=S^{m+n}

이다. 또한, 0차원 초구 S^0=\{\bullet\}\sqcup\{\bullet\}는 분쇄곱의 항등원이다.

X\sqcup S^0=X

분쇄곱은 교환법칙을 따르고, 대부분의 위상공간에 대하여 결합법칙을 따른다. 다만, 특수한 경우에는 결합법칙이 깨질 수 있다.