아벨 변환

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아벨 변환(-變換, Abel transformation), 또는 아벨의 보조정리(-補助定理, Abel's lemma), 아벨의 부분합 공식(-部分合公式, Abel's partial summation formula)은 두 수열의 항별곱의 합을 계산하기 위한 변환법이다. 합산에서의 아벨 변환은 적분에서의 부분적분과 유사하다. 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다.

기법[편집]

임의의 , 복소수열 {an}, {bn}과 임의의 두 자연수 nm ≥ 0에 대해, 다음 공식이 성립한다.

\sum_{k=m}^n (a_{k+1} - a_k)b_k = a_{n+1}b_{n+1} - a_mb_m - \sum_{k=m}^n a_k(b_{k+1} - b_k)

또는 (전향차분을 사용해)

\sum_{k=m}^n (\Delta a_k)b_k = a_{n+1}b_{n+1} - a_mb_m - \sum_{k=m}^n a_k(\Delta b_k)

다르게는

\sum_{k=m}^n a_kb_k = A_nb_n - \sum_{k=m}^{n-1}A_k(b_{k+1} - b_k)

로 서술된다.[1] 여기서

A_k = \sum_{i=m}^k a_i

이는 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다.

응용[편집]

이 식을 이용하여 유명한 교대급수 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}가 수렴함을 증명해 보자. a_k = (-1)^k, b_k = \frac{1}{k} 로 놓고 1부터 n까지 더한 식에 아벨 변환을 적용하면, A_{k,1} = 0(k가 짝수) 또는 = -1(k가 홀수) 다음과 같이 된다.([x]는 가우스 함수)

  • \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} = A_{n,1}b_n - \sum_{k=1}^{n-1}A_{k,1}(b_{k+1} - b_k) = A_{n,1}b_n - \sum_{k=1}^{[n/2]}\frac{1}{2k(2k-1)}

그런데 우변의 첫 항 A_{n,1}b_n은 무한대에서 0으로 수렴하므로, 결론적으로 이 교대급수는 이렇게 변환된다.

  • \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} = -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k(2k-1)}.

마지막 항은 비교판정법에 의하여 수렴하는 급수이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. 180쪽. ISBN 978-8-96-105054-8. 

참고 문헌[편집]

  • 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.