적분판정법

조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 면적역시 무한히 커져야 한다.

적분판정법(Integral test)이란 음이 아닌 항을 가지는 무한급수의 수렴성을 판정하는 기법 중의 하나이다.

판정법

적당한 양의 정수 $N$이 있고, 구간 $[N, \infty)$에서 적분 가능한 음이 아닌 단조 감소(monotone decreasing) 함수 $f$가 주어져 있을 때, 다음의 무한급수가 수렴하는지 판정하고자 한다.

$\sum_{n=N}^\infty f(n)$

이 때, 다음의 적분값이 유한하다면 위 무한급수는 수렴하게 된다.

$\int_N^\infty f(x)\,dx$

역으로, 위 적분값이 발산한다면 위 무한급수도 발산하게 된다.

기하학적으로, 무한급수를 계산한 값은 함수 $f(x)$ 그래프의 아래쪽을 덮는 직사각형들의 면적의 총합이 된다. 그러므로 그 직사각형들의 일부에 포함되는 그래프의 아래쪽 면적(적분)값이 발산한다면 무한급수도 발산하게 되는 것이다.

예

다음과 같은 조화급수가 발산함을 증명하고자 한다.

$\sum_{n=1}^\infty \frac1n$

다음의 적분판정법을 적용하면 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 이용하여 발산함을 알 수 있다.

$\int_1^M\frac1x\,dx=\ln x\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty \quad\text{for }M\to\infty.$

p-급수 판정법

적분판정법의 따름정리로 다음 p-급수 판정법을 유도할 수 있다.

• 무한급수 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}$ 가 수렴할 필요충분조건은 p > 1이다.