적분판정법

조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 y = 1 / x, x ∈ [1, ∞) 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.

연속 기획
미적분학
미적분학의 기본정리 함수의 극한 연속 함수 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의 미분 일반화 무한소 주요 부분 전미분 개념 미분 표기법 고계 도함수 변수 변환 테일러 정리 법칙과 항등식 합의 법칙 곱의 법칙 몫의 법칙 멱의 법칙 연쇄 법칙 역함수의 미분 음함수의 미분
적분 적분표 정의 부정적분 적분 (이상적분) 리만 적분 르베그 적분 경로적분 적분법 부분적분 디스크 방법 원통셸 방법 치환적분 (삼각 치환) 부분분수 적분법 적분 순서 재귀식 적분
수열과 급수 기하급수 (등차-등비 수열) 조화급수 교대급수 멱급수 이항급수 테일러 급수 수렴판정법 일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법
벡터 미적분학 기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수 벡터 미적분표 정리 발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈-스토크스 정리
다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬
특수한 경우 분수차 미적분 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법

적분판정법(積分判別法, integral test)은 양항급수의 수렴성을 판정하는 방법 중 하나이다.

내용

함수 f가 만약 [N, ∞)(N은 정수)에서 단조감소하며 항상 ≥ 0이면, 급수

$\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$

과 이상적분

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다. 달리 말해, 급수가 수렴할 필요충분조건은 이상적분이 유한하다는 것이다.

판정법의 증명은 급수의 상계와 하계를 다음과 같이 제시한다.

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

증명

[N, ∞)안의 임의의 정수 n에 대해, f가 단조감소함에 따라 다음이 성립한다.

$f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)$

N부터 정수 M( > N)까지의 모든 정수 n에 대해 합을 구하면

$\sum _{n=N+1}^{M+1}f(n)\leq \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)$

M에 대해 극한을 취하면 해당 부등식을 얻으며, 그로써 급수와 이상적분이 유한임은 서로 동치이다.

p급수의 예

조화급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$은 적분판정법과 미적분학의 기본정리에 따라 발산한다.

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{M\to \infty }\int _{1}^{M}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{M\to \infty }\left.\ln x\right|_{1}^{M}=\infty$

급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$은 수렴한다(${\tfrac {\pi ^{2}}{6}}$으로).

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\left.-{\frac {1}{x}}\right|_{1}^{\infty }=1<\infty$

p급수 판정법, 즉 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$가 수렴할 필요충분조건이 p > 1이라는 사실은 적분판정법의 한 가지 따름정리이다.