적분판정법

조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 y = 1 / x, x ∈ [1, ∞) 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.

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적분판정법(積分判別法, integral test)은 양항급수의 수렴성을 판정하는 방법 중 하나이다.

내용

함수 f가 만약 [N, ∞)(N은 정수)에서 단조감소하며 항상 ≥ 0이면, 급수

$\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$

과 이상적분

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다. 달리 말해, 급수가 수렴할 필요충분조건은 이상적분이 유한하다는 것이다.

판정법의 증명은 급수의 상계와 하계를 다음과 같이 제시한다.

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

증명

[N, ∞)안의 임의의 정수 n에 대해, f가 단조감소함에 따라 다음이 성립한다.

$f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)$

N부터 정수 M( > N)까지의 모든 정수 n에 대해 합을 구하면

$\sum _{n=N+1}^{M+1}f(n)\leq \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)$

M에 대해 극한을 취하면 해당 부등식을 얻으며, 그로써 급수와 이상적분이 유한임은 서로 동치이다.

p급수의 예

조화급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$은 적분판정법과 미적분학의 기본정리에 따라 발산한다.

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{M\to \infty }\int _{1}^{M}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{M\to \infty }\left.\ln x\right|_{1}^{M}=\infty$

급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$은 수렴한다(${\tfrac {\pi ^{2}}{6}}$으로).

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\left.-{\frac {1}{x}}\right|_{1}^{\infty }=1<\infty$

p급수 판정법, 즉 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$가 수렴할 필요충분조건이 p > 1이라는 사실은 적분판정법의 한 가지 따름정리이다.