적분판정법

조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 y = 1 / x, x ∈ [1, ∞) 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.

미적분학
함수의 성질 함수의 극한 샌드위치 정리 연속 함수 최대 최소 정리 중간값 정리
미분 미분표 다항식의 미적분 곱규칙 몫의 법칙 연쇄법칙 역함수 정리 음함수의 미분 음함수 정리 롤의 정리 평균값 정리 다르부의 정리 로피탈의 정리 테일러 정리 미분 연산자 론스키 행렬식
적분 적분표 치환적분 삼각치환적분 쌍곡치환적분 바이어슈트라스 치환 부분적분 부정적분 이상적분 미적분학의 기본정리 리만 합 리만 적분 적분의 평균값 정리 회전체 사다리꼴 공식 심프슨의 법칙 아벨의 합 공식
수열과 급수 수열의 극한 슈톨츠-체사로 정리 수렴급수 무한급수의 수렴 판정법 비교판정법 비 판정법 근 판정법 교대급수판정법 적분판정법 아벨 판정법 디리클레 판정법 코시 응집판정법 거듭제곱 급수 코시-아다마르 정리 테일러 급수 아벨의 극한 정리 고른 수렴 바이어슈트라스 M-판정법 아벨 변환 오일러 변환 오일러-매클로린 공식
특수 함수 삼각 함수 쌍곡선 함수 지수 함수 로그 함수 감마 함수 스털링 근사 가우스 적분
벡터 미적분학 직교 좌표계 극좌표계 원통좌표계 구면좌표계 기울기 발산 회전 라플라스 연산자 그린 정리 스토크스의 정리 발산정리 그린의 항등식 편미분 전미분 야코비 행렬 헤세 행렬 선적분 선적분의 기본정리 중적분 면적분 부피 적분 푸비니의 정리

적분판정법(積分判別法, integral test)은 양항급수의 수렴성을 판정하는 방법 중 하나이다.

내용

함수 f가 만약 [N, ∞)(N은 정수)에서 단조감소하며 항상 ≥ 0이면, 급수

$\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$$\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$

과 이상적분

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다. 달리 말해, 급수가 수렴할 필요충분조건은 이상적분이 유한하다는 것이다.

판정법의 증명은 급수의 상계와 하계를 다음과 같이 제시한다.

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

증명

[N, ∞)안의 임의의 정수 n에 대해, f가 단조감소함에 따라 다음이 성립한다.

$f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)$$f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)$

N부터 정수 M( > N)까지의 모든 정수 n에 대해 합을 구하면

$\sum _{n=N+1}^{M+1}f(n)\leq \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)$$\sum _{n=N+1}^{M+1}f(n)\leq \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)$

M에 대해 극한을 취하면 해당 부등식을 얻으며, 그로써 급수와 이상적분이 유한임은 서로 동치이다.

p급수의 예

조화급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$$\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$은 적분판정법과 미적분학의 기본정리에 따라 발산한다.

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{M\to \infty }\int _{1}^{M}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{M\to \infty }\left.\ln x\right|_{1}^{M}=\infty$$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{M\to \infty }\int _{1}^{M}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{M\to \infty }\left.\ln x\right|_{1}^{M}=\infty$

급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$$\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$은 수렴한다(${\tfrac {\pi ^{2}}{6}}$${\tfrac {\pi ^{2}}{6}}$으로).

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\left.-{\frac {1}{x}}\right|_{1}^{\infty }=1<\infty$$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\left.-{\frac {1}{x}}\right|_{1}^{\infty }=1<\infty$

p급수 판정법, 즉 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$$\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$가 수렴할 필요충분조건이 p > 1이라는 사실은 적분판정법의 한 가지 따름정리이다.