적분판정법

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조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 y = 1 / x, x ∈ [1, ∞) 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.

적분판정법(積分判別法, integral test)은 양항급수수렴성을 판정하는 방법 중 하나이다.

내용[편집]

함수 f가 만약 [N, ∞)(N정수)에서 단조감소하며 항상 ≥ 0이면, 급수

\sum_{n=N}^{\infty} f(n)

이상적분

\int_N^{\infty} f(x) \,dx

는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다. 달리 말해, 급수가 수렴할 필요충분조건은 이상적분이 유한하다는 것이다.

판정법의 증명은 급수의 상계와 하계를 다음과 같이 제시한다.

\int_N^{\infty} f(x) \,dx \le \sum_{n=N}^{\infty} a_n \le f(N) + \int_N^{\infty} f(x) \,dx

증명[편집]

[N, ∞)안의 임의의 정수 n에 대해, f가 단조감소함에 따라 다음이 성립한다.

f(n+1) \le \int_n^{n+1} f(x) \,dx \le f(n)

N부터 정수 M( > N)까지의 모든 정수 n에 대해 합을 구하면

\sum_{n=N+1}^{M+1} f(n) \le \int_N^{M+1} f(x) \,dx \le \sum_{n=N}^M f(n)

M에 대해 극한을 취하면 해당 부등식을 얻으며, 그로써 급수와 이상적분이 유한임은 서로 동치이다.

p급수의 예[편집]

조화급수 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac1n은 적분판정법과 미적분학의 기본정리에 따라 발산한다.

\int_1^{\infty} \frac1x \,dx = \lim_{M\to\infty} \int_1^M \frac1x \,dx = \lim_{M\to\infty} \left.\ln x \right|_1^{M} = \infty

급수 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}은 수렴한다(\tfrac{\pi^2}{6}으로).

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \,dx = \left.-\frac{1}{x}\right|_1^{\infty} = 1 < \infty

p급수 판정법, 즉 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}가 수렴할 필요충분조건이 p > 1이라는 사실은 적분판정법의 한 가지 따름정리이다.