편미분

연속 기획
미적분학
미적분학의 기본정리 함수의 극한 연속 함수 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의 미분 일반화 무한소 주요 부분 전미분 개념 미분 표기법 고계 도함수 변수 변환 테일러 정리 법칙과 항등식 합의 법칙 곱의 법칙 몫의 법칙 멱의 법칙 연쇄 법칙 역함수의 미분 음함수의 미분
적분 적분표 정의 부정적분 적분 (이상적분) 리만 적분 르베그 적분 경로적분 적분법 부분적분 디스크 방법 원통셸 방법 치환적분 (삼각치환법) 부분분수 적분법 적분 순서 재귀식 적분
수열과 급수 기하급수 (등차-등비 수열) 조화급수 교대급수 멱급수 이항급수 테일러 급수 수렴판정법 일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법
벡터 미적분학 기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수 벡터 미적분표 정리 발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈-스토크스 정리
다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬
특수한 경우 분수차 미적분 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법

벡터 미적분학과 미분기하학에서, 편미분(偏微分, 영어: partial derivative)은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 표기

$f'_{x},\ f_{x},\ \partial _{x}f,{\frac {\partial }{\partial x}}f,\ {\frac {\partial f}{\partial x}}$

는 변수 $x$에 대한, 함수 $f(x,y,\ldots )$의 편미분을 뜻한다. 표기

$f'_{x}(x,y,\ldots ),\ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots )$

등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다.

편미분 기호는 ∂이다. 1770년 이래 니콜라 드 콩도르세가 편차분 기호로서 사용하였으며, 이는 발견된 최초의 수학적 사용이다. 1786년에 아드리앵마리 르장드르가 편미분 기호로서 도입하였다. 다만 뒷날 그는 이 기호를 버려두었다. 1841년에 카를 구스타프 야코프 야코비가 이 기호를 재도입하였다.

도입

z = x² + xy + y²의 그래프. y = 1로 놓으면, xz-평면과 평행하는 빨간색 곡선을 얻으며, 점 (1, 1)에서 곡선의 접선은 역시 xz-평면과 평행한다.

위 그래프의 평면 y = 1에 의한 절단면. 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 3이다.

하나 이상의 변수를 갖는 함수 $f$가 주어졌다고 가정하자. 예를 들어,

$z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$

이 함수의 그래프는 유클리드 공간 속 곡면을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 접선이 존재한다. 편미분은 이런 접선 가운데 하나를 골라, 그 기울기를 구하는 것이다. $xz$-평면이나 $yz$-평면과 평행하는 접선(즉, $y$나 $x$를 상수로 놓아 얻는 접선)은 특히 중요도가 높다. 점 $(x,y)$에서 $xz$-평면과 평행하는 접선의 기울기를 구하자. $y$를 상수로 볼 때, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻는다. 그 곡선 방정식에서 $y$를 상수로 보아 미분을 구하면, 점 $(x,y)$에서 곡선의 기울기가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y$

대입을 통해, 점 $(1,1)$에서 $xz$-평면과 평행하는 접선의 기울기는 3이라는 것을 알 수 있다. 즉, 점 $(1,1)$에서

${\frac {\partial z}{\partial x}}(1,1)=3$.

즉, 점 $(1,1)$에서 $z$의 $x$에 대한 편미분은 3이다.

함수 $f$는 변수 하나의 함수들의 족으로서 재해석할 수 있다. 다시 말해, 모든 $y$ 값은 변수 하나의 함수

$f_{(y)}(x)=x^{2}+xy+y^{2}$

에 대응한다. 만약 $y$의 값을 $y=a$와 같이 선택해 고정시킨다면, $f$는 함수

$f_{(a)}(x)=x^{2}+ax+a^{2}$

를 결정한다. $a$가 상수이지 더 이상 변수가 아니며, 따라서 $f_{a}$는 변수 $x$ 하나만을 갖는다. 따라서, 일변수 함수의 미분을

$f_{(a)}'(x)=2x+a$

와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든 $x$ 값의 함수이며, 이 논의는 모든 $y=a$ 값에 적용시킬 수 있다. 따라서 이로부터, 모든 $x$ 값 및 $y$ 값을 변수로 갖는 함수

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y$

을 얻을 수 있다. 이는 함수 $f$의, 변수 $x$에 대한 편미분이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$에 정의된 실숫값 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$ 및 점 ${\boldsymbol {a}}\in D$에 대하여, 점 ${\boldsymbol {a}}$에서 함수 $f$의 변수 $x_{i}$에 대한 편미분은 다음과 같은 극한이다.

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}({\boldsymbol {a}})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})}{h}}$

편미분은 다음과 같이 정의할 수도 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.

• ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}({\boldsymbol {a}})={\frac {df_{(i)}}{dx}}(a_{i})$
• ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}({\boldsymbol {a}})=L\iff L={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {e}}_{i}}}({\boldsymbol {a}})=-{\frac {\partial f}{\partial (-{\boldsymbol {e}}_{i})}}({\boldsymbol {a}})$

여기서

• $f_{(i)}(x)=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots ,a_{n})$
• ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}$는 방향 미분이다.
• ${\boldsymbol {e}}_{i}$는 $i$번째 좌표가 1, 나머지 좌표가 0인 단위 벡터이다.

어떤 ${\boldsymbol {a}}\in D$에서 $f$의 $x_{i}$에 대한 편미분이 존재한다면, 점 ${\boldsymbol {a}}$에서 $f$가 $x_{i}$에 대해 편미분 가능하다고 한다. 모든 ${\boldsymbol {x}}\in D$에서 $f$의 $x_{i}$에 대한 편미분이 존재한다면, $f$가 $D$에서 $x_{i}$에 대해 편미분 가능하다고 한다. 이 경우, 편미분은 정의역이 $D$, 공역이 $\mathbb {R}$인 함수이며, 이를

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$

로 표기한다.

기울기

이 부분의 본문은 기울기 (벡터)입니다.

(어떤 점 또는 모든 점에서) 함수 $f$가 모든 변수에 대해 편미분 가능할 경우, $f$의 기울기는 각 변수에 대한 편미분을 좌표로 갖는 벡터이다.

방향 미분

방향 미분(方向微分, 영어: directional derivative)은 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다.

다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

• 연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$에 정의된 실숫값 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$
• 유클리드 공간 속 점 ${\boldsymbol {a}}\in D$
• 유클리드 공간 속 단위 벡터

${\boldsymbol {v}}=(\cos \theta _{1},\ldots ,\cos \theta _{n})\in \mathbb {R} ^{n}\qquad (|{\boldsymbol {v}}|=1)$

이를 "방향"이라고 부르자.

그렇다면, 점 ${\boldsymbol {a}}$에서 $f$의 방향 ${\boldsymbol {v}}$에 대한 방향 미분은 다음과 같은 극한이다.

${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}&=\lim _{t\to 0+0}{\frac {f(a_{1}+t\cos \theta _{1},\ldots ,a_{n}+t\cos \theta _{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{t}}\\&=\lim _{t\to 0+0}{\frac {f({\boldsymbol {a}}+t{\boldsymbol {v}})-f({\boldsymbol {a}})}{t}}\\&=\lim _{E\ni {\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})}{({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {v}}}}\end{aligned}}$

여기서

$E=\{{\boldsymbol {a}}+t{\boldsymbol {v}}\colon 0<t<t'\}\subseteq D$

이다.

고계 편미분

함수 $f$의 고계 편미분(高階偏微分, 영어: higher order partial derivative)은 편미분의 편미분이나 편미분의 편미분의 편미분 등등을 뜻한다.

예를 들어, 독립 변수 $x,y,z$의 함수 $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$에 대하여, $x$에 대한 편미분은 다음과 같이 표기한다.

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f$

이를 다시 $x$나 $y$로 편미분하면, 이계 편미분을 얻으며, 다음과 같이 표기한다.

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f\equiv {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}f$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}=\partial _{yx}f\equiv {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f$

비슷하게, $f$를 $y$나 $z$로 편미분하고, 다시 $x$나 $y$나 $z$로 편미분할 수 있다.

일반적으로, 연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$에 정의된 실숫값 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$를 변수 $x_{a}$로 $k_{a}$번, 변수 $x_{b}$로 $k_{b}$번, ..., 변수 $x_{c}$로 $k_{c}$번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 $k_{a}+k_{b}+\cdots +k_{c}$계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다.

${\frac {\partial ^{k_{a}+k_{b}+\cdots +k_{c}}f}{\partial x_{c}^{k_{c}}\cdots \partial x_{b}^{k_{b}}\partial x_{a}^{k_{a}}}}\equiv {\frac {\partial ^{k_{c}}}{\partial x_{c}^{k_{c}}}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{b}}}{\partial x_{b}^{k_{b}}}}{\frac {\partial ^{k_{a}}}{\partial x_{a}^{k_{a}}}}f$

용어 혼합 편미분(混合偏微分, 영어: mixed derivative)은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서 $f$의 $x$에 대한 편미분의 $y$에 대한 편미분은 혼합 편미분이다.

많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능하며, 이 경우 편미분은 다중지표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

$\left({\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right)^{\boldsymbol {i}}f\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)^{i_{1}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right)^{i_{2}}\cdots \left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)^{i_{n}}f$

물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다.

성질

(어떤 점이나 모든 점에서) 함수가 전미분 가능하다면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재한다. 또한, 다음이 성립한다.

$df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}=\nabla f\cdot d{\boldsymbol {x}}$

${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\cos \theta _{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\cos \theta _{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\cos \theta _{n}=\nabla f\cdot {\boldsymbol {v}}$

(어떤 점이나 모든 점에서) 함수의 모든 편미분이 존재하고, 모두 연속 함수라면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수는 전미분 가능하다. 이 경우 함수가 연속 미분 가능하다고 한다.

편미분 교환 법칙

편미분 교환 법칙에 따르면, 연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$에 정의된 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$ 및 그 두 변수 $x$, $y$에 대하여, 만약 $f$가 ${\mathcal {C}}^{2}$함수라면, $f$의 $x$와 $y$에 대한 혼합 편미분은 서로 같다. 즉,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$

증명:

$S\left(\Delta x,\Delta y\right)=f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}+\Delta y\right)+f\left(x_{0},y_{0}\right)$라고 하고 $g\left(x\right)=f\left(x,y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x,y_{0}\right)$라고 하자. 그렇다면 $S\left(\Delta x,\Delta y\right)=g\left(x_{0}+\Delta x\right)-g\left(x_{0}\right)$이다. 전제에 의하여 $g$는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 $x_{0}+\Delta x$와 $x_{0}$사이에는 $g\left(x_{0}+\Delta x\right)-g\left(x_{0}\right)=g'\left({\bar {x}}\right)\Delta x$를 만족하는 ${\bar {x}}$가 존재한다. $S\left(\Delta x,\Delta y\right)=\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}+\Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}\right)\right]\Delta x$이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면 $f_{x}$는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 $y_{0}+\Delta y$와 $y_{0}$사이에는 ${\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}+\Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)\Delta y$를 만족하는 ${\bar {y}}$가 존재한다. 따라서 $S\left(\Delta x,\Delta y\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)\Delta y\Delta x$이고, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)={\frac {S\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}}$이다. ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$는 연속이므로 $\lim _{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}{\frac {S\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left(x,y\right)$이다. 비슷한 방법으로 계산해보면 ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left(x,y\right)=\lim _{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}{\frac {S\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}}$이므로 $f_{xy}=f_{yx}$이다.

예

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.

$V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}$

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

${\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}$

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

${\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}$

참고 문헌

• Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0. 
• 伍胜健 (2009). 《数学分析》 [해석학] (중국어) 3 초판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.