편미분
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편미분(偏微分, 영어: partial derivative)은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 간주하여 미분하는 것이다. 기호는 ∂으로, 1770년 니콜라 드 콩도르세가 편차분 기호로서 사용한 이후로 편미분을 나타내는 기호로 사용되고 있으며 이후 1786년에 아드리앵마리 르장드르에 의해 소개되었으나 쓰이지 않다가, 1841년에 카를 구스타프 야코프 야코비가 다시 이 기호를 도입하였다.[1] 다른 하나의 변수를 상수로 간주한 뒤 미분해 얻은 도함수를 편도함수라고 부르며 이 편도함수를 구하는 과정을 편미분이라 부른다.[2]
는 변수 에 대한, 함수 의 편미분을 뜻한다.
등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다.
도입[편집]
하나 이상의 변수를 갖는 함수 가 주어졌다고 가정하자. 예를 들어,
이 함수의 그래프는 유클리드 공간 속 곡면을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 접선이 존재한다. 편미분은 이런 접선 가운데 하나를 골라, 그 기울기를 구하는 것이다. -평면이나 -평면과 평행하는 접선(즉, 나 를 상수로 놓아 얻는 접선)은 특히 중요도가 높다. 점 에서 -평면과 평행하는 접선의 기울기를 구하자. 를 상수로 볼 때, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻는다. 그 곡선 방정식에서 를 상수로 보아 미분을 구하면, 점 에서 곡선의 기울기가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.
대입을 통해, 점 에서 -평면과 평행하는 접선의 기울기는 3이라는 것을 알 수 있다. 즉, 점 에서
- .
즉, 점 에서 의 에 대한 편미분은 3이다.
함수 는 변수 하나의 함수들의 족으로서 재해석할 수 있다. 다시 말해, 모든 값은 변수 하나의 함수
에 대응한다. 만약 의 값을 와 같이 선택해 고정시킨다면, 는 함수
를 결정한다. 가 상수이지 더 이상 변수가 아니며, 따라서 는 변수 하나만을 갖는다. 따라서, 일변수 함수의 미분을
와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든 값의 함수이며, 이 논의는 모든 값에 적용시킬 수 있다. 따라서 이로부터, 모든 값 및 값을 변수로 갖는 함수
을 얻을 수 있다. 이는 함수 의, 변수 에 대한 편미분이다.
정의[편집]
연결 열린집합 에 정의된 실숫값 함수 및 점 에 대하여, 점 에서 함수 의 변수 에 대한 편미분은 다음과 같은 극한이다.
편미분은 다음과 같이 정의할 수도 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.
여기서
- 는 방향 미분이다.
- 는 번째 좌표가 1, 나머지 좌표가 0인 단위 벡터이다.
어떤 에서 의 에 대한 편미분이 존재한다면, 점 에서 가 에 대해 편미분 가능하다고 한다. 모든 에서 의 에 대한 편미분이 존재한다면, 가 에서 에 대해 편미분 가능하다고 한다. 이 경우, 편미분은 정의역이 , 공역이 인 함수이며, 이를
로 표기한다.
기울기[편집]
(어떤 점 또는 모든 점에서) 함수 가 모든 변수에 대해 편미분 가능할 경우, 의 기울기는 각 변수에 대한 편미분을 좌표로 갖는 벡터이다.
방향도함수[편집]
방향도함수(方向導函數, 영어: directional derivative)는 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다.
다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.
- 이를 "방향"이라고 부르자.
그렇다면, 점 에서 의 방향 에 대한 방향도함수는 다음과 같은 극한이다.
여기서
이다.
고계 편미분[편집]
함수 의 고계 편미분(高階偏微分, 영어: higher order partial derivative)은 편미분의 편미분이나 편미분의 편미분의 편미분 등등을 뜻한다.
예를 들어, 독립 변수 의 함수 에 대하여, 에 대한 편미분은 다음과 같이 표기한다.
이를 다시 나 로 편미분하면, 이계 편미분을 얻으며, 다음과 같이 표기한다.
비슷하게, 를 나 로 편미분하고, 다시 나 나 로 편미분할 수 있다.
일반적으로, 연결 열린집합 에 정의된 실숫값 함수 를 변수 로 번, 변수 로 번, ..., 변수 로 번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다.
용어 혼합 편미분(混合偏微分, 영어: mixed derivative)은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서 의 에 대한 편미분의 에 대한 편미분은 혼합 편미분이다.
많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능하며, 이 경우 편미분은 다중지표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.
물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다.
성질[편집]
(어떤 점이나 모든 점에서) 함수가 전미분 가능하다면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재한다. 또한, 다음이 성립한다.
(어떤 점이나 모든 점에서) 함수의 모든 편미분이 존재하고, 모두 연속 함수라면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수는 전미분 가능하다. 이 경우 함수가 연속 미분 가능하다고 한다.
편미분 교환 법칙[편집]
편미분 교환 법칙에 따르면, 연결 열린집합 에 정의된 함수 및 그 두 변수 , 에 대하여, 만약 가 함수라면, 의 와 에 대한 혼합 편미분은 서로 같다. 즉,
증명:
예[편집]
밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.
여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.
또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.
각주[편집]
- ↑ Miller, Jeff (2009년 6월 14일). “Earliest Uses of Symbols of Calculus”. 《Earliest Uses of Various Mathematical Symbols》. 2009년 2월 20일에 확인함.
- ↑ “편도함수”. 《사이언스올》. 2015년 9월 9일. 2021년 5월 7일에 확인함.
참고 문헌[편집]
- Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.
- 伍胜健 (2010년 8월). 《数学分析. 第三册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-17675-7.