극한비교판정법

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극한비교판정법(極限比較判定法, limit comparison test)은 무한급수에 대한 수렴판정법이다. 내용은, 두 양수항 급수에 항별로 비를 취한 것의 극한이 0이 아닌 실수로서 존재하면, 두 급수의 수렴 여부가 같다는 것이다.

내용[편집]

an, ∑bn(an ≥ 0, bn ≥ 0)에 대해, 만약

이라면, 둘 다 수렴하거나, 둘 다 발산한다.

증명[편집]

본 판정법은 비교판정법의 간단한 따름정리이다. 전제 조건을 만족하는 양수항 급수 an, ∑bn의 항은 충분히 큰 n에 대해

을 만족하게 되어, 두 급수의 수렴성이 같다고 비교판정법에 의해 결론난다.

L = 0[편집]

L = 0일 시에는 그대신 an < bn 충분히 큰 n에 대해 성립하는 것만이 보장되므로, "bn이 수렴하면 an도 수렴한다"고만 단정지을 수 있다. 따라서 종합적으로,

  • 0 < L < ∞일 때, an, ∑bn은 동시에 수렴 또는 동시에 발산한다.
  • L = 0일 때, 만약 bn이 수렴하면 an도 수렴한다.
  • L = ∞일 때, 만약 bn이 발산하면 an도 발산한다.

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기하급수와의 비교[편집]

급수

기하급수

이 수렴하고

임에 따라 수렴한다.

조화급수와의 비교[편집]

급수

또는

조화급수

와의 비교를 통해 발산함을 알 수 있다.

p-급수와의 비교[편집]

급수

또는

은 급수

가 수렴함에 따라 같이 수렴한다.

같이 보기[편집]