극한비교판정법

극한비교판정법(極限比較判定法, limit comparison test)은 무한급수에 대한 수렴판정법이다. 내용은, 두 양수항 급수에 항별로 비를 취한 것의 극한이 0이 아닌 실수로서 존재하면, 두 급수의 수렴 여부가 같다는 것이다.

내용

∑a_n, ∑b_n(a_n ≥ 0, b_n ≥ 0)에 대해, 만약

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L,\quad 0<L<\infty$

이라면, 둘 다 수렴하거나, 둘 다 발산한다.

증명

본 판정법은 비교판정법의 간단한 따름정리이다. 전제 조건을 만족하는 양수항 급수 ∑a_n, ∑b_n의 항은 충분히 큰 n에 대해

${\frac {1}{2}}L<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<2L$

즉

${\frac {1}{2}}Lb_{n}<a_{n}<2Lb_{n}$

을 만족하게 되어, 두 급수의 수렴성이 같다고 비교판정법에 의해 결론난다.

L = 0

L = 0일 시에는 그대신 a_n < b_n 충분히 큰 n에 대해 성립하는 것만이 보장되므로, "∑b_n이 수렴하면 ∑a_n도 수렴한다"고만 단정지을 수 있다. 따라서 종합적으로,

• 0 < L < ∞일 때, ∑a_n, ∑b_n은 동시에 수렴 또는 동시에 발산한다.
• L = 0일 때, 만약 ∑b_n이 수렴하면 ∑a_n도 수렴한다.
• L = ∞일 때, 만약 ∑b_n이 발산하면 ∑a_n도 발산한다.

예

기하급수와의 비교

급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-n}}$

는 기하급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$

이 수렴하고

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {1/(2^{n}-n)}{1/2^{n}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{n}}{2^{n}-n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1-n/2^{n}}}\\&={\frac {1}{1-0}}=1\end{aligned}}$

임에 따라 수렴한다.

조화급수와의 비교

급수

$\sum _{n=1}^{\infty }\ln(1+{\frac {1}{n}})$ 또는 $\sum _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {1}{n}}$

는 조화급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

와의 비교를 통해 발산함을 알 수 있다.

$\lim _{n\to \infty }n\ln(1+{\frac {1}{n}})=1=\lim _{n\to \infty }n\sin {\frac {1}{n}}$

p-급수와의 비교

급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ 또는 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2-{\frac {1}{n}}}}}$

은 급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

가 수렴함에 따라 같이 수렴한다.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}+2n}{n^{2}}}=1=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2-{\frac {1}{n}}}}{n^{2}}}$

같이 보기

• 비교판정법