테일러 정리

테일러 정리(Taylor's theorem, -定理)는 초등적인 실해석학의 중요한 정리 중 하나로, 평균값 정리를 임의의 n계 도함수에 일반화한 것으로 볼 수 있다. 유한 항에 대한 테일러 정리의 마지막 항은 특수한 형태를 갖는데, 무한 번 미분가능한 함수에 대해 계속 항을 늘려나갈 때 이 항을 없앨 수 있을 경우 테일러 정리의 전개 꼴은 테일러 급수가 된다.

공식화

실함수 f:[c, d]→R이 [c, d]에서 n+1번 미분가능하고 n+1계 도함수가 연속이라 하자. 그러면 임의의 a, x∈[c, d]에 대하여 이 함수를 다음과 같이 n+2개의 항으로 전개할 수 있다.

• $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_{n+1}(x),$

여기서 마지막 항인 $R_{n+1}(x)$을 f의 나머지 항이라 하는데, [a, x] 또는 [x, a]에 속하는 적당한 실수 b에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

• $R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(b)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.$

이러한 꼴을 나머지 항의 미분 표현이라 하고, 이는 동등한 다음의 적분 표현 형태로 변경할 수 있다.

• $R_{n+1}(x) = \frac{1}{n!} \int^x_a (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt.$

증명

나머지 항의 적분 표현 형태는 적분의 평균값 정리를 사용하면 미분 표현 형태로 변형 가능하다. 여기서는 적분 표현 형태로 전개하는 방법을 설명한다. 먼저 미적분학의 기본정리에 의해 다음이 성립한다.

• $f(x) = f(a) + \int^x_a f'(t) dt.$

우변의 두 번째 항을 부분적분하면,

• $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \int^x_a (x-t)f''(t) dt = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \frac{1}{2}\int^x_a (x-t)^2f'''(t) dt = ...$

이 된다. 필요한 만큼 부분적분으로 전개하면 이상의 적분 표현을 얻는다.

같이 보기

• 평균값 정리
• 테일러 급수
• 로랑 급수