테일러 정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
둘러보기로 가기 검색하러 가기

미적분학에서, 테일러 정리(-定理, 영어: Taylor's theorem)는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다.

정의[편집]

페아노 나머지항[편집]

만약 계 도함수를 가진다면, 다음이 성립한다.

여기서 과 어떤 0으로 수렴하는 함수의 곱을 나타낸다. 이는 함수와 어떤 다항식의 차가 보다 빠르게 0으로 수렴함을 나타낸다. 이러한 다항식을 차 테일러 다항식(-次-多項式, 영어: -th order Taylor polynomial)이라고 하고, 함수와 테일러 다항식의 차를 나머지항(-項, 영어: remainder term)이라고 한다. 위와 같이 나타낸 나머지항 페아노 나머지항(-項, 영어: Peano remainder term)이라고 한다. 사실, 주어진 함수와의 차가 페아노 나머지항인 차 이하의 다항식은 테일러 다항식으로 유일하다.

라그랑주 나머지항[편집]

만약 번 연속 미분 가능 함수이며, 에서 계 도함수를 가진다면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.[1]:15

여기서 이다. 이와 같은 나머지항을 라그랑주 나머지항(-項, 영어: Lagrange remainder term)이라고 한다. 이는 평균값 정리의 일반화이다.

적분 나머지항[편집]

만약 가 구간이며, 번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.[2]:83, Theorem 16

이와 같은 나머지항을 적분 나머지항(積分-項, 영어: integral remainder form)이라고 한다.

코시 나머지항[편집]

만약 가 구간이며, 번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서 이다. 이와 같은 나머지항을 코시 나머지항(-項, 영어: Cauchy remainder term)이라고 한다.

다변수 함수의 경우[편집]

페아노 나머지항[편집]

만약 의 모든 편도함수가 연속 함수라면, 다음이 성립한다.

라그랑주 나머지항[편집]

만약 연결 열린집합이며, 의 모든 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 에 대하여 라면, 다음이 성립한다.

여기서 이다.

적분 나머지항[편집]

만약 연결 열린집합이며, 의 모든 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 에 대하여 라면, 다음이 성립한다.[3]:13-14

증명[편집]

페아노 나머지항의 증명[편집]

함수 의 테일러 다항식을 로 표기하자. 페아노 나머지항의 테일러 정리는 다음을 의미한다.

모든 에 대하여 이므로, 로피탈 법칙을 사용하면 다음을 얻는다.

첫 등호는 로피탈 법칙을 번 반복한 결과이며, 마지막 등호는 의 정의에 의한다.

테일러 다항식의 유일성의 증명[편집]

다음이 성립한다고 가정하자.

여기서 는 상수이다. 이 식에 를 취하면 를 얻는다. 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.

여기에 를 취하면 를 얻는다. 마찬가지로 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.

여기에 를 취하면 를 얻는다. 이와 같이 반복하면 모든 에 대하여 임을 알 수 있다. 모든 테일러 정리는 페아노 나머지항을 유도할 수 있으므로 모든 테일러 정리의 테일러 다항식은 유일하다.

라그랑주 나머지항의 증명[편집]

편의상 라고 가정하자. 다음과 같은 두 함수 를 정의하자.

그러면 는 연속 함수이며, 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.

또한 이므로, 코시 평균값 정리에 따라 다음이 성립한다.

여기서 이다. 따라서 라그랑주 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.

적분 나머지항의 증명[편집]

미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립한다.

부분 적분을 반복하면 다음을 얻는다.

따라서 적분 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.[4]:224-225 적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 라그랑주 나머지항을 유도할 수 있다.

코시 나머지항의 증명[편집]

적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 다음을 얻는다.

여기서 이다. 따라서 코시 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.

다변수 함수의 경우의 증명[편집]

라그랑주 나머지항의 경우를 증명하자. 그 밖의 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다. 다음과 같은 함수 을 정의하자.

그러면 번 연속 미분 가능 함수이므로, 일변수 함수의 경우에 따라 다음이 성립한다.

여기서 이다. 또한, 연쇄 법칙에 따라 다음이 성립한다.

이를 대입하면 다음과 같은 다변수 함수의 경우를 얻는다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Kharab, Abdelwahab; Guenther, Ronald B. (2013). 《(이공학도를 위한) 수치해석: matlab 활용》. 번역 백태현; 박태선; 박시현; 우경식; 유은종; 이광훈; 이주성; 최덕기. 서울: 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8. 
  2. Godement, Roger (2005). 《Analysis II》. Universitext (영어). 번역 Spain, Philip. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-29926-2. ISBN 978-3-540-20921-8. LCCN 2003066673. 
  3. Hörmander, Lars (2003). 《The Analysis of Linear Partial Differential Operators I》. Classics in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61497-2. ISBN 978-3-540-00662-6. ISSN 1431-0821. LCCN 2003050516. 
  4. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 

외부 링크[편집]