테일러 정리

연속 기획
미적분학
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미분 정의 미분 (일반화) 미분계수 무한소 함수의 미분 전미분 개념 미분 표기법 2차 도함수 3차 도함수 변수 변환 음함수의 미분 합성함수의 미분 테일러 정리 법칙과 정리 합의 법칙 곱의 법칙 연쇄 법칙 다항식의 미분 분수함수의 미분 일반화된 라이프니츠 법칙 파 디 부르노 방정식
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다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬
특수한 경우 분수차 미적분 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법

테일러 정리(Taylor's theorem, -定理)는 초등적인 실해석학의 중요한 정리 중 하나로, 평균값 정리를 임의의 n계 도함수에 일반화한 것으로 볼 수 있다. 유한 항에 대한 테일러 정리의 마지막 항은 특수한 형태를 갖는데, 무한 번 미분가능한 함수에 대해 계속 항을 늘려나갈 때 이 항을 없앨 수 있을 경우 테일러 정리의 전개 꼴은 테일러 급수가 된다.

공식화

실함수 f:[c, d]→R이 [c, d]에서 n+1번 미분가능하고 n+1계 도함수가 연속이라 하자. 그러면 임의의 a, x∈[c, d]에 대하여 이 함수를 다음과 같이 n+2개의 항으로 전개할 수 있다.

• $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n+1}(x),$

여기서 마지막 항인 $R_{n+1}(x)$을 f의 나머지 항이라 하는데, [a, x] 또는 [x, a]에 속하는 적당한 실수 b에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

• $R_{n+1}(x)={\frac {f^{(n+1)}(b)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

이러한 꼴을 나머지 항의 미분 표현이라 하고, 이는 동등한 다음의 적분 표현 형태로 변경할 수 있다.

• $R_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt.$

증명

나머지 항의 적분 표현 형태는 적분의 평균값 정리를 사용하면 미분 표현 형태로 변형 가능하다. 여기서는 적분 표현 형태로 전개하는 방법을 설명한다. 먼저 미적분학의 기본정리에 의해 다음이 성립한다.

• $f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)dt.$

우변의 두 번째 항을 부분적분하면,

• $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)dt=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{a}^{x}(x-t)^{2}f'''(t)dt=...$

이 된다. 필요한 만큼 부분적분으로 전개하면 이상의 적분 표현을 얻는다.

같이 보기

• 평균값 정리
• 테일러 급수
• 로랑 급수