테일러 정리

미적분학
함수의 성질 함수의 극한 샌드위치 정리 연속 함수 최대 최소 정리 중간값 정리
미분 미분표 다항식의 미적분 곱규칙 몫의 법칙 연쇄법칙 역함수 정리 음함수의 미분 음함수 정리 롤의 정리 평균값 정리 다르부의 정리 로피탈의 정리 테일러 정리 미분 연산자 론스키 행렬식
적분 적분표 치환적분 삼각치환적분 쌍곡치환적분 바이어슈트라스 치환 부분적분 부정적분 이상적분 미적분학의 기본정리 리만 합 리만 적분 적분의 평균값 정리 회전체 사다리꼴 공식 심프슨의 법칙 아벨의 합 공식
수열과 급수 수열의 극한 슈톨츠-체사로 정리 수렴급수 무한급수의 수렴 판정법 비교판정법 비 판정법 근 판정법 교대급수판정법 적분판정법 아벨 판정법 디리클레 판정법 코시 응집판정법 거듭제곱 급수 코시-아다마르 정리 테일러 급수 아벨의 극한 정리 고른 수렴 바이어슈트라스 M-판정법 아벨 변환 오일러 변환 오일러-매클로린 공식
특수 함수 삼각 함수 쌍곡선 함수 지수 함수 로그 함수 감마 함수 스털링 근사 가우스 적분
벡터 미적분학 직교 좌표계 극좌표계 원통좌표계 구면좌표계 기울기 발산 회전 라플라스 연산자 그린 정리 스토크스의 정리 발산정리 그린의 항등식 편미분 전미분 야코비 행렬 헤세 행렬 선적분 선적분의 기본정리 중적분 면적분 부피 적분 푸비니의 정리

테일러 정리(Taylor's theorem, -定理)는 초등적인 실해석학의 중요한 정리 중 하나로, 평균값 정리를 임의의 n계 도함수에 일반화한 것으로 볼 수 있다. 유한 항에 대한 테일러 정리의 마지막 항은 특수한 형태를 갖는데, 무한 번 미분가능한 함수에 대해 계속 항을 늘려나갈 때 이 항을 없앨 수 있을 경우 테일러 정리의 전개 꼴은 테일러 급수가 된다.

공식화

실함수 f:[c, d]→R이 [c, d]에서 n+1번 미분가능하고 n+1계 도함수가 연속이라 하자. 그러면 임의의 a, x∈[c, d]에 대하여 이 함수를 다음과 같이 n+2개의 항으로 전개할 수 있다.

• $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n+1}(x),$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+{\frac {f^{{(n)}}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{{n+1}}(x),$

여기서 마지막 항인 $R_{n+1}(x)$$R_{{n+1}}(x)$을 f의 나머지 항이라 하는데, [a, x] 또는 [x, a]에 속하는 적당한 실수 b에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

• $R_{n+1}(x)={\frac {f^{(n+1)}(b)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$$R_{{n+1}}(x)={\frac {f^{{(n+1)}}(b)}{(n+1)!}}(x-a)^{{n+1}}.$

이러한 꼴을 나머지 항의 미분 표현이라 하고, 이는 동등한 다음의 적분 표현 형태로 변경할 수 있다.

• $R_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt.$$R_{{n+1}}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{{(n+1)}}(t)dt.$

증명

나머지 항의 적분 표현 형태는 적분의 평균값 정리를 사용하면 미분 표현 형태로 변형 가능하다. 여기서는 적분 표현 형태로 전개하는 방법을 설명한다. 먼저 미적분학의 기본정리에 의해 다음이 성립한다.

• $f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)dt.$$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)dt.$

우변의 두 번째 항을 부분적분하면,

• $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)dt=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{a}^{x}(x-t)^{2}f'''(t)dt=...$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)dt=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{a}^{x}(x-t)^{2}f'''(t)dt=...$

이 된다. 필요한 만큼 부분적분으로 전개하면 이상의 적분 표현을 얻는다.

같이 보기

• 평균값 정리
• 테일러 급수
• 로랑 급수