테일러 정리

미적분학에서 테일러 정리(-定理, 영어: Taylor's theorem)는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다.

정의

페아노 나머지항

만약 $f\colon (a-r,a+r)\to \mathbb {R}$가 $n$계 도함수를 가진다면, 다음이 성립한다.

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o(x-a)^{n}\qquad (x\to a)$

여기서 $o(x-a)^{n}$는 $(x-a)^{n}$과 어떤 0으로 수렴하는 함수의 곱을 나타낸다. 이는 함수와 어떤 다항식의 차가 $(x-a)^{n}$보다 빠르게 0으로 수렴함을 나타낸다. 이러한 다항식을 $n$차 테일러 다항식(-次-多項式, 영어: $n$-th order Taylor polynomial)이라고 하고, 함수와 테일러 다항식의 차를 나머지항(-項, 영어: remainder term)이라고 한다. 위와 같이 나타낸 나머지항 $o(x-a)^{n}$을 페아노 나머지항(-項, 영어: Peano remainder term)이라고 한다. 사실, 주어진 함수와의 차가 페아노 나머지항인 $n$차 이하의 다항식은 테일러 다항식으로 유일하다.

라그랑주 나머지항

만약 $f\colon [a',b']\to \mathbb {R}$가 $n$번 연속 미분 가능 함수이며, $(a',b')$에서 $(n+1)$계 도함수를 가진다면, 임의의 $a,x\in [a',b']$에 대하여, 다음이 성립한다.

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$

여기서 $\xi \in \{a+\theta (x-a)\colon 0<\theta <1\}$즉, a와 x사이에 있는 어떤 실수이다. 이와 같은 나머지항을 라그랑주 나머지항(-項, 영어: Lagrange remainder term)이라고 한다. 이는 평균값 정리의 일반화이다.

적분 나머지항

만약 $I$가 구간이며, $f\colon I\to \mathbb {R}$가 $(n+1)$번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 $a,x\in I$에 대하여, 다음이 성립한다.

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n}\mathrm {d} t$

이와 같은 나머지항을 적분 나머지항(積分-項, 영어: integral remainder form)이라고 한다.

코시 나머지항

만약 $I$가 구간이며, $f\colon I\to \mathbb {R}$가 $(n+1)$번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 $a,x\in I$에 대하여, 다음이 성립한다.

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}(x-a)$

여기서 $\xi \in \{a+\theta (x-a)\colon 0<\theta <1\}$이다. 이와 같은 나머지항을 코시 나머지항(-項, 영어: Cauchy remainder term)이라고 한다.

다변수 함수의 경우

페아노 나머지항

만약 $f\colon \operatorname {B} _{\mathbb {R} ^{d}}(\mathbf {a} ,r)\to \mathbb {R}$의 모든 $n$계 편도함수가 연속 함수라면, 다음이 성립한다.

$f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{k}=1}^{d}{\frac {\partial ^{k}f(\mathbf {a} )}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{k}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{k}}-a_{j_{k}})+o(\Vert \mathbf {x} -\mathbf {a} \Vert ^{n})\qquad (\mathbf {x} \to \mathbf {a} )$

라그랑주 나머지항

만약 $D\subseteq \mathbb {R} ^{d}$가 연결 열린집합이며, $f\colon D\to \mathbb {R}$의 모든 $(n+1)$계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 $t\in [0,1]$에 대하여 $\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} )\in D$라면, 다음이 성립한다.

$f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{k}=1}^{d}{\frac {\partial ^{k}f(\mathbf {a} )}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{k}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{k}}-a_{j_{k}})+{\frac {1}{(n+1)!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{n+1}=1}^{d}{\frac {\partial ^{n+1}f({\boldsymbol {\xi }})}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{n+1}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})$

여기서 ${\boldsymbol {\xi }}\in \{\mathbf {a} +\theta (\mathbf {x} -\mathbf {a} )\colon 0<\theta <1\}$이다.

적분 나머지항

만약 $D\subseteq \mathbb {R} ^{d}$가 연결 열린집합이며, $f\colon D\to \mathbb {R}$의 모든 $(n+1)$계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 $t\in [0,1]$에 대하여 $\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} )\in D$라면, 다음이 성립한다.

$f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{k}=1}^{d}{\frac {\partial ^{k}f(\mathbf {a} )}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{k}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{k}}-a_{j_{k}})+{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{n+1}=1}^{d}{\frac {\partial ^{n+1}f(\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} ))}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{n+1}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})(1-t)^{n}\mathrm {d} t$

증명

페아노 나머지항의 증명

함수 $f$의 테일러 다항식을 $\operatorname {T} _{n,f,a}(x)$로 표기하자. 페아노 나머지항의 테일러 정리는 다음을 의미한다.

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-\operatorname {T} _{n,f,a}(x)}{(x-a)^{n}}}=0$

모든 $k\in \{0,\dots ,n\}$에 대하여 $f^{(k)}(a)=\operatorname {T} _{n,f,a}^{(k)}(a)$이므로, 로피탈 법칙을 사용하면 다음을 얻는다.

${\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-\operatorname {T} _{n,f,a}(x)}{(x-a)^{n}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}(x)-\operatorname {T} _{n,f,a}^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}}\\&=\lim _{x\to a}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{x-a}}-f^{(n)}(a)\right)\\&=0\end{aligned}}$

첫 등호는 로피탈 법칙을 $(n-1)$번 반복한 결과이며, 마지막 등호는 $f^{(n)}(a)$의 정의에 의한다.

테일러 다항식의 유일성의 증명

다음이 성립한다고 가정하자.

$f(x)=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+\cdots +a_{n}(x-a)^{n}+o(x-a)^{n}\qquad (x\to a)$

여기서 $a_{0},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$는 상수이다. 이 식에 $x\to a$를 취하면 $a_{0}=f(a)$를 얻는다. 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=a_{1}+a_{2}(x-a)^{2}+\cdots +a_{n}(x-a)^{n-1}+o(x-a)^{n-1}\qquad (x\to a)$

여기에 $x\to a$를 취하면 $a_{1}=f'(a)$를 얻는다. 마찬가지로 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.

${\frac {f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{(x-a)^{2}}}=a_{2}+a_{3}(x-a)+\cdots +a_{n}(x-a)^{n-2}+o(x-a)^{n-2}\qquad (x\to a)$

여기에 $x\to a$를 취하면 $a_{2}=f''(a)/2$를 얻는다. 이와 같이 반복하면 모든 $k\in \{0,\dots ,n\}$에 대하여 $a_{k}=f^{(k)}(a)/k!$임을 알 수 있다. 모든 테일러 정리는 페아노 나머지항을 유도할 수 있으므로 모든 테일러 정리의 테일러 다항식은 유일하다.

라그랑주 나머지항의 증명

편의상 $x\neq a$라고 가정하자. 다음과 같은 두 함수 $F,G\colon [a,x]\cup [x,a]\to \mathbb {R}$를 정의하자.

$F(t)=f(x)-\left(f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\right)$

$G(t)=(x-t)^{n+1}$

그러면 $F,G$는 연속 함수이며, 임의의 $t\in (a,x)\cup (x,a)$에 대하여 다음이 성립한다.

$F'(t)=-{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}$

$G'(t)=-(n+1)(x-t)^{n}$

또한 $F(x)=G(x)=0$이므로, 코시 평균값 정리에 따라 다음이 성립한다.

${\frac {F(a)}{G(a)}}={\frac {F(a)-F(x)}{G(a)-G(x)}}={\frac {F'(\xi )}{G'(\xi )}}={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}$

여기서 $\xi \in (a,x)\cup (x,a)$이다. 따라서 라그랑주 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.

적분 나머지항의 증명

미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립한다.

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {d} t$

부분 적분을 반복하면 다음을 얻는다.

${\begin{aligned}f(x)&=f(a)-\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {d} (x-t)\\&=f(a)+f'(a)(x-a)+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)\mathrm {d} t\\&=f(a)+f'(a)(x-a)-{\frac {1}{2}}\int _{a}^{x}f''(t)\mathrm {d} (x-t)^{2}\\&=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{a}^{x}(x-t)^{2}f'''(t)\mathrm {d} t\\&\vdots \\&=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\mathrm {d} t\end{aligned}}$

따라서 적분 나머지항의 테일러 정리가 성립한다. 적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 라그랑주 나머지항을 유도할 수 있다.

코시 나머지항의 증명

적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 다음을 얻는다.

${\begin{aligned}{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n}\mathrm {d} t&={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}\int _{a}^{x}\mathrm {d} t\\&={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}(x-a)\end{aligned}}$

여기서 $\xi \in \{a+\theta (x-a)\colon 0<\theta <1\}$이다. 따라서 코시 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.

다변수 함수의 경우의 증명

라그랑주 나머지항의 경우를 증명하자. 그 밖의 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다. 다음과 같은 함수 $g\colon [0,1]\to \mathbb {R}$을 정의하자.

$g(t)=f(\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} ))$

그러면 $g$는 $(n+1)$번 연속 미분 가능 함수이므로, 일변수 함수의 경우에 따라 다음이 성립한다.

$g(1)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {g^{(k)}(0)}{k!}}+{\frac {g^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}}$

여기서 $\theta \in (0,1)$이다. 또한, 연쇄 법칙에 따라 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}g^{(k)}(t)&=\left(\sum _{j=1}^{d}(x_{j}-a_{j}){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)^{k}f(\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} ))\\&=\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{k}=1}^{d}{\frac {\partial ^{k}f(\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} ))}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{k}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{k}}-a_{j_{k}})\end{aligned}}$

이를 대입하면 다음과 같은 다변수 함수의 경우를 얻는다.

$f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{k}=1}^{d}{\frac {\partial ^{k}f(\mathbf {a} )}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{k}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{k}}-a_{j_{k}})+{\frac {1}{(n+1)!}}\sum _{j_{1}=1}^{d}\cdots \sum _{j_{n+1}=1}^{d}{\frac {\partial ^{n+1}f(\mathbf {a} +\theta (\mathbf {x} -\mathbf {a} ))}{\partial x_{j_{1}}\cdots \partial x_{j_{n+1}}}}(x_{j_{1}}-a_{j_{1}})\cdots (x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})$

같이 보기

• 평균값 정리
• 테일러 급수
• 로랑 급수

외부 링크

• “Taylor formula” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.