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테일러 정리 (Taylor's theorem, -定理)는 초등적인 실해석학 의 중요한 정리 중 하나로, 평균값 정리 를 임의의 n계 도함수 에 일반화한 것으로 볼 수 있다. 유한 항에 대한 테일러 정리의 마지막 항은 특수한 형태를 갖는데, 무한 번 미분가능한 함수에 대해 계속 항을 늘려나갈 때 이 항을 없앨 수 있을 경우 테일러 정리의 전개 꼴은 테일러 급수 가 된다.
공식화 [ 편집 ] 실함수 f:[c, d]→R 이 [c, d]에서 n+1번 미분가능하고 n+1계 도함수가 연속이라 하자. 그러면 임의의 a, x∈[c, d]에 대하여 이 함수를 다음과 같이 n+2개의 항으로 전개할 수 있다.[1]
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
.
.
.
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
R
n
+
1
(
x
)
,
{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n+1}(x),}
여기서 마지막 항인
R
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle R_{n+1}(x)}
나머지 항 이라 하는데, [a, x] 또는 [x, a]에 속하는 적당한 실수 b에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
R
n
+
1
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
b
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
.
{\displaystyle R_{n+1}(x)={\frac {f^{(n+1)}(b)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.}
이러한 꼴을 나머지 항의 미분 표현이라 하고, 이는 동등한 다음의 적분 표현 형태로 변경할 수 있다.
R
n
+
1
(
x
)
=
1
n
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
f
(
n
+
1
)
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle R_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt.}
나머지 항의 적분 표현 형태는 적분의 평균값 정리 를 사용하면 미분 표현 형태로 변형 가능하다. 여기서는 적분 표현 형태로 전개하는 방법을 설명한다.[2] [3]
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∫
a
x
f
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)dt.}
우변의 두 번째 항을 부분적분 하면,
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
∫
a
x
(
x
−
t
)
f
″
(
t
)
d
t
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
(
x
−
a
)
2
+
1
2
∫
a
x
(
x
−
t
)
2
f
‴
(
t
)
d
t
=
.
.
.
{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)dt=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{a}^{x}(x-t)^{2}f'''(t)dt=...}
이 된다. 필요한 만큼 부분적분으로 전개하면 이상의 적분 표현을 얻는다.
같이 보기 [ 편집 ]
↑ 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. 224-225쪽. ISBN 978-8-96-105054-8 . ↑ 인용 오류: <ref> 태그가 잘못되었습니다; a라는 이름을 가진 주석에 제공한 텍스트가 없습니다 ↑ 평균값 정리와 유사한 방법으로 미분 표현 형태를 유도하는 방법도 있다.
