미적분학에서 테일러 정리(-定理, 영어: Taylor's theorem)는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다.
페아노 나머지항[편집]
만약
가
계 도함수를 가진다면, 다음이 성립한다.

여기서
는
과 어떤 0으로 수렴하는 함수의 곱을 나타낸다. 이는 함수와 어떤 다항식의 차가
보다 빠르게 0으로 수렴함을 나타낸다. 이러한 다항식을
차 테일러 다항식(-次-多項式, 영어:
-th order Taylor polynomial)이라고 하고, 함수와 테일러 다항식의 차를 나머지항(-項, 영어: remainder term)이라고 한다. 위와 같이 나타낸 나머지항
을 페아노 나머지항(-項, 영어: Peano remainder term)이라고 한다. 사실, 주어진 함수와의 차가 페아노 나머지항인
차 이하의 다항식은 테일러 다항식으로 유일하다.
라그랑주 나머지항[편집]
만약
가
번 연속 미분 가능 함수이며,
에서
계 도함수를 가진다면, 임의의
에 대하여, 다음이 성립한다.[1]:15

여기서
이다. 이와 같은 나머지항을 라그랑주 나머지항(-項, 영어: Lagrange remainder term)이라고 한다. 이는 평균값 정리의 일반화이다.
적분 나머지항[편집]
만약
가 구간이며,
가
번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의
에 대하여, 다음이 성립한다.[2]:83, Theorem 16

이와 같은 나머지항을 적분 나머지항(積分-項, 영어: integral remainder form)이라고 한다.
코시 나머지항[편집]
만약
가 구간이며,
가
번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의
에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서
이다. 이와 같은 나머지항을 코시 나머지항(-項, 영어: Cauchy remainder term)이라고 한다.
다변수 함수의 경우[편집]
페아노 나머지항[편집]
만약
의 모든
계 편도함수가 연속 함수라면, 다음이 성립한다.

라그랑주 나머지항[편집]
만약
가 연결 열린집합이며,
의 모든
계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의
에 대하여
라면, 다음이 성립한다.

여기서
이다.
적분 나머지항[편집]
만약
가 연결 열린집합이며,
의 모든
계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의
에 대하여
라면, 다음이 성립한다.[3]:13-14

페아노 나머지항의 증명[편집]
함수
의 테일러 다항식을
로 표기하자. 페아노 나머지항의 테일러 정리는 다음을 의미한다.

모든
에 대하여
이므로, 로피탈 법칙을 사용하면 다음을 얻는다.

첫 등호는 로피탈 법칙을
번 반복한 결과이며, 마지막 등호는
의 정의에 의한다.
테일러 다항식의 유일성의 증명[편집]
다음이 성립한다고 가정하자.

여기서
는 상수이다. 이 식에
를 취하면
를 얻는다. 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.

여기에
를 취하면
를 얻는다. 마찬가지로 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.

여기에
를 취하면
를 얻는다. 이와 같이 반복하면 모든
에 대하여
임을 알 수 있다. 모든 테일러 정리는 페아노 나머지항을 유도할 수 있으므로 모든 테일러 정리의 테일러 다항식은 유일하다.
라그랑주 나머지항의 증명[편집]
편의상
라고 가정하자. 다음과 같은 두 함수
를 정의하자.


그러면
는 연속 함수이며, 임의의
에 대하여 다음이 성립한다.


또한
이므로, 코시 평균값 정리에 따라 다음이 성립한다.

여기서
이다. 따라서 라그랑주 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.
적분 나머지항의 증명[편집]
미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립한다.

부분 적분을 반복하면 다음을 얻는다.

따라서 적분 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.[4]:224–225 적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 라그랑주 나머지항을 유도할 수 있다.
코시 나머지항의 증명[편집]
적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 다음을 얻는다.

여기서
이다. 따라서 코시 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.
다변수 함수의 경우의 증명[편집]
라그랑주 나머지항의 경우를 증명하자. 그 밖의 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다. 다음과 같은 함수
을 정의하자.

그러면
는
번 연속 미분 가능 함수이므로, 일변수 함수의 경우에 따라 다음이 성립한다.

여기서
이다. 또한, 연쇄 법칙에 따라 다음이 성립한다.

이를 대입하면 다음과 같은 다변수 함수의 경우를 얻는다.

같이 보기[편집]
외부 링크[편집]