미적분학에서 부분 적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다.[1][2][3][4][5]
만약
가 구간이며
가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수
가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.[2]:292

이를
및
를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.

만약
가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.[2]:292, Theorem 7.1
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x&={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2409d98c621f774f02da758a2eab13c981dbfc1c)
곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.

양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.[3]:79

또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.[2]:292
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/813c974cce216239e0593e65cc4733e02d39f16d)
LIATE 법칙 (또는 로.다.삼.지 법칙)[편집]
이 명제에서는 주어진 적분에서
와
를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을
로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을
으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를
로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙(영어: LIATE rule)이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 '왼쪽 방향'으로 갈수록 미분에 용이하며, '오른쪽 방향'으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다.[6] 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.
따름정리[편집]
만약
가 구간이며
가
번 연속 미분 가능 함수라면 (
계 도함수
이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.[3]:101, Exercise 46

이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.
첫째 예[편집]
부정적분

을 구하자.
이며
라고 하자. 그러면
이며 (상수차를 무시하면)
이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[1]:516, Example 2
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둘째 예[편집]
부정적분

를 구하자.
이며
라고 하자. 그러면
이며
이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[3]:87, Example 7.10
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셋째 예[편집]
부정적분

을 구하자.
이며
라고 하자. 그러면
이며
이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

우변의 마지막 항의 적분에서
,
,
,
라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
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따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[1]:518, Example 4

넷째 예[편집]
부정적분

을 구하자.
이며
라고 하자. 그러면
이며
이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[4]:
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따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]:256, 예6.2.21

다섯째 예[편집]
다음과 같은 두 적분을 구하자.


이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
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즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.


따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]:256, 예6.2.22


여섯째 예[편집]
다음과 같은 적분을 구하자.

다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).
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따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]:258, 예6.2.26
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같이 보기[편집]
외부 링크[편집]