연쇄 법칙

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미적분학에서, 연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 함수의 합성도함수에 대한 공식이다.

정의[편집]

실변수 실숫값 함수[편집]

함수 에서 미분 가능하며, 함수 에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, 에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

특히, 만약 가 구간 에서, 에서 미분 가능하다면, 에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

이를 라이프니츠 표기법 및 표기 , 를 사용하여 다시 쓰면 다음과 같다.

카라테오도리 보조정리를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환 적분이라고 한다.

보다 일반적으로, 함수의 합성의 고계 도함수에 대한 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 파 디 브루노 공식(영어: Faà di Bruno's formula)이라고 한다.

다변수 벡터값 함수[편집]

aRn, g : RnRm, f : RmRp라 하자. 만약 ga에서 미분가능하고, fg(a)에서 미분가능하다면 fga에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.

합성함수의 편미분은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. g(x1, x2, …, xn) : RnRm , f(u1, u2,…, um) : RmRa에서 미분가능하다고 하면 Df는 ∇f가 되고 함수 z = fg= f(g(x1, x2, …, xn))는 미분가능하고 미분은

편미분은

이다..