코시 응집판정법

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코시 응집판정법(-凝集判定法, Cauchy condensation test)은 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙은 무한급수수렴판정법이다. 음이 아닌 실수감소수열에 대한 급수

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + \cdots \cdots

의 수렴성을, 2의 거듭제곱번째 항만으로 재구성한 급수

a_1 + a_2 + a_2 + a_4 + a_4 + a_4 + a_4 + \cdots \cdots

의 수렴성으로 귀결시킨다.

내용[편집]

{an}이 실수열이고 임의의 자연수 n에 대해 an ≥ 0, anan + 1일 때, \textstyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}이 수렴할 필요충분조건은 \textstyle{\sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n}}가 수렴하는 것이다.[1] 더 나아가, 원래 급수의 합의 범위는 다음과 같이 추정된다.[2]

\sum_{n=1}^{\infty} a_n \le \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} \le 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n

극히 소수의 항만을 이용해 전체 급수의 수렴성을 판정하는 것이 이 판정법의 특징이다.

증명[편집]

부분합에 관한 부등식

\sum_{n=1}^{2^{k+1}-1} a_n \le \sum_{n=0}^k 2^na_{2^n} \le 2 \sum_{n=1}^{2^k} a_n

을 증명하면, 두 급수는 부분합의 유계성이 같아 단조수렴정리에 의해 수렴성이 같다. 또 여기에 극한을 취하면 위에서의 범위 추정도 증명된다. 세 부분합을 전개하고, 아래와 같이 항을 괄호로 조금씩 묶어 전개식 하나당 k + 1개의 묶음을 만들어서, 같은 위치의 묶음끼리 비교하면 (예를 들어 셋째 열에서, an이 감소함에 따라 a4 + a5 + a6 + a7 a4 + a4 + a4 + a4 a3 + a3 + a4 + a4) 부분합에 관한 부등식은 증명된다.

\begin{matrix}
    &    a_1    & + & (a_2+a_3) & + & (a_4+a_5+a_6+a_7) & + & \cdots \\
\le &    a_1    & + & (a_2+a_2) & + & (a_4+a_4+a_4+a_4) & + & \cdots \\
\le & (a_1+a_1) & + & (a_2+a_2) & + & (a_3+a_3+a_4+a_4) & + & \cdots \\
\end{matrix}

[편집]

코시 응집판정법은 n이 분모에 있는 경우에 유용하다. 전형적인 예인 조화급수 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}의 수렴 여부는 \textstyle \sum 1가 발산함에 따라 쉽게 드러난다.

조금 더 복잡한 예로, 급수

\sum_{n=m}^{\infty} \frac{1}{n^{p_0} (\ln n)^{p_1} (\ln\ln n)^{p_2} \cdots (\underbrace{\ln\ln\cdots\ln}_k n)^{p_k}}

가 수렴할 필요충분조건은 1이 아닌 지수가 있고 처음으로 오는 1이 아닌 지수가 1보다 크다는 것이다. 즉 급수는 사전식 순서대로 (p0, ..., pk) > (1, ..., 1)일 때 수렴, (p0, ..., pk) ≤ (1, ..., 1)일 때 발산한다.

일반화[편집]

각주[편집]

  1. Rudin, Walter (1976). 〈Chapter 3 Numerical Sequences and Series〉. 《Principles of Mathematical Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. 61-62쪽. ISBN 0-07-054235-X. 
  2. Tao, Terence (2008). 〈第7章 级数〉 [제7장 급수]. 《陶哲轩实分析》 [테렌스 타오 실해석] (중국어). 번역 王昆扬 1판. 人民邮电出版社. 139쪽. ISBN 978-7-115-18693-5. 

바깥 고리[편집]