코시 응집판정법

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코시 응집판정법(Cauchy condensation test, -凝集判定法)은 무한급수의 수렴 판정법 중 하나로, 어떤 급수의 수렴 판정을 위해 수렴성이 그와 동치인 다른 급수를 유도하는 기법이다. 판정법 중에서는 고급에 속한다. 프랑스 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙어 있다.

공식화[편집]

코시 응집판정법은 다음과 같이 공식화할 수 있다.[1] 음이 아닌 실수수열 {an}이 단조감소하여 0으로 수렴한다고 하자. 그러면 다음 명제가 성립한다.

증명[편집]

먼저 다음 식을 보면,

\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} 2^{k}a_{2^k} = \frac{1}{2}(a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^na_{2^n}) = \frac{a_1}{2} + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{n-1}a_{2^n}

{an} 은 단조감소수열이므로 m<n이면 a_m \ge a_n 이다. 따라서 다음 부등식이 성립한다.

\frac{a_1}{2} + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{n-1}a_{2^n} \le a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2^n} = \sum_{k=1}^{2^n} a_k,

따라서 \sum_{k=1}^{\infty} a_k 가 수렴하면 \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k} 도 수렴한다. 반대로,

\sum_{k=0}^{n} 2^{k}a_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^na_{2^n} \ge a_1 + a_2 + a_3 + ... a_{2^n} + ... a_{2^{n+1}-1} = \sum_{k=1}^{2^{n+1}-1} a_k,

이므로, \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k} 가 수렴하면 \sum_{k=1}^{\infty} a_k 도 수렴한다.

주석[편집]

  1. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976, pp. 61-62.

참고 문헌[편집]

  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.