단조 수렴 정리

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실해석학에서, 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 단조증가하거나 단조감소하는 수열이 특정한 조건에 대해 수렴하는 것에 대한 정리이다. 여러 경우에 대한 단조수렴정리가 존재하며, 예를 들어 실수열 급수, 혹은 측도의 열 등에 대한 정리가 각각 존재한다.

실수 단조 수열의 수렴[편집]

만약 ak이 실수로 이루어진 단조 수열(예를 들어 만약 ak ≤ ak+1일 때)이라면, 이 수열은 극한값(양의 무한, 음의 무한 포함)을 갖는다. 극한값이 유한할 필요충분조건은 이 수열이 유계 집합인 것이다.[1]

증명[편집]

위로 유계인 단조 증가 수열 \langle a_n \rangle에 대하여 증명하자. 이때 수열은 수렴하고 극한값은 \sup_n \{a_n\}이다.

\{ a_n \}이 공집합이 아니고 위로 유계이므로, 이 집합은 실수의 상한 성질에 의하여 c = \sup_n \{a_n\}이 존재하고 이는 그 값은 유한이다. 모든 \varepsilon > 0에 대하여, a_N > c - \varepsilon 을 만족하는 a_N이 존재한다. 만약 존재하지 않는다고 하면 c - \varepsilon \{ a_n \}의 상계가 되어야 하는데 이는 c = \sup_n \{a_n\}라는 것과 모순이다. \langle a_n \rangle이 증가수열이므로, \forall n > N에 대해  |c - a_n| = c - a_n \leq c - a_N < \varepsilon 가 성립하고, 정의에 의해 \langle a_n \rangle의 극한값은 \sup_n \{a_n\}이 된다. \Box

같은 방식으로 실수로 이루어진 아래로 유계인 단조 감소 수열에 대해서도 생각하면, 이 수열의 하계가 극한값이 된다는 사실을 알 수 있다.

단조 급수의 수렴[편집]

자연수 j, k에 대하여, aj,k가 음이 아닌 실수이고, aj,k ≤ aj+1 ,k 이면, 다음 식이 성립한다.[2]

\lim_{j\to\infty} \sum_k a_{j,k} = \sum_k \lim_{j\to\infty} a_{j,k}

르베그 단조 수렴 정리[편집]

이 정리는 앞에서 언급한 정리를 보다 일반화 한 것이며, 단조 수렴 정리들 중에서도 가장 중요한 정리중 하나이다. 정리의 이름은 앙리 르베그에서 유래하였으며, 베포 레비 정리로도 불린다. 이 정리는 다음과 같다.

μ를 측도라고 하자. 만약 f, f1, f2, ... 가 μ-가측 함수이며 [0,\infty]에서 값을 갖는 함수이고, 각각의 kx에 대하여 fk(x) ≤ fk+1(x)이 성립하고,

\lim_{k\to\infty} f_k=f (μ 측도 기준으로 거의 어디서나)

이 성립할 때, [3]

\lim_{k\to\infty} \int f_k d\mu = \int f d\mu

이 성립한다.

증명 1[편집]

모든 n에 대하여  0\leq f_n \leq f_{n+1}이므로

\int f_n \leq \int f_{n+1}

이 성립하고,

\lim_{k\to\infty} f_k=f이므로, 모든 n에 대하여

\int f_n \leq \int f

이 성립한다.

(0,1) 사이의 고정값을 갖는  \alpha와, 0 \leq \Phi \leq f를 만족하는 단순 함수 \Phi에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

E_n = \{x | f_n (x) \geq \alpha \Phi (x) \}

이처럼 정의하면, E_n는 측정 가능한 집합들의 증가 수열이고, \cup E_n는 함수의 정의역 전체가 된다. 또한 다음 식이 성립한다.

\alpha \int_{E_n}{\Phi} \leq \int_{E_n} f_n \leq \int f_n

따라서

 \lim \int_{E_n}{\Phi} = \int \Phi

가 성립하고, [4]\Phi \leq f이 성립하므로,

\lim \int {f_n} \geq \alpha \int{f} \geq \alpha \int{\Phi}

이 성립한다는 것을 알 수 있다. 위의 부등식이 모든 \alpha < 1에 대해서 성립하므로,

\lim \int {f_n} \geq \int{f}

가 성립한다. 따라서 \lim \int {f_n} = \int{f}이 성립한다.

증명 2[편집]

{fk}kN가 음이 아닌 측정 가능한 함수들의 감소하지 않는 수열인 경우,

 f = \sup_{k \in \mathbb{N}} f_k

를 대입하면, 르베그 적분의 단조성에 의해서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

 \int f d \mu \geq \lim_k \int f_k d \mu

또한, 수열이 단조수열이기 때문에, 우변의 극한값이 존재한다.

이제 반대방향의 부등식을 파투의 보조정리를 사용하여 증명할 수 있다.

 \int f d \mu \leq \lim_k \int f_k d \mu.

적분의 정의로부터, 함수 f점마다 유계열인 음이 아닌 단순 함수의 수열 {gn}이 존재한다는 사실을 알 수 있다. 이때 {gn}은 다음과 같은 성질도 만족하여야 한다.

 \lim_k \int g_k d \mu = \int f d \mu.

따라서, kN인 경우에 대해서만 증명하면 된다.

  \int g_k d \mu \leq \lim_j \int f_j d \mu.

g가 단순 함수인 경우,

 \lim_j f_j(x) \geq g(x)

가 거의 모든 곳에서 성립하고, 이때

 \lim_j \int f_j d \mu \geq \int g d \mu

가 성립한다. g가 단순함수이므로 그 값이 일정한 집합만 생각한다면, 해당 집합의 정의함수로 생각할 수 있다. 따라서 다음을 증명하면 원래의 명제를 증명하는 것과 동치가 된다.

A를 측정가능한 집합이라 하고, {fk}kNE에서의 감소하지 않는 측정가능함수의 수열이라고 하자. 이때 이 수열은 거의 모든 xA에 대하여 다음 조건을 만족하는 것이어야 한다.
 \lim_n f_n (x) \geq 1
그러면
 \lim_n \int f_n d\mu \geq \mu(A)
이 성립한다.

이를 증명하기 위해서는 ε > 0을 고정시켜놓고 측정가능집합들의 수열을 다음과 같이 정의한다.

 B_n = \{x \in A: f_n(x) \geq 1 - \epsilon \}

적분의 단조성에 의하여, 모든 nN에 대해 다음 식이 성립한다.

 \mu(B_n) (1 - \epsilon) = \int (1 - \epsilon)
1_{B_n} d \mu \leq \int f_n d \mu

가정에 의해

 \bigcup_i B_i = A

가 성립하고, 측도의 가측가산성질(countable additivity)에 의해 다음 식이 성립한다.

 \mu(A) = \lim_n \mu(B_n) \leq \lim_n (1 - \epsilon)^{-1} \int f_n d
\mu.

이 식이 임의의 양수 ε에 대해 성립하므로,

 \lim_n \int f_n d\mu \geq \mu(A)

가 성립함을 알 수 있다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65. 이 정리보다 일반적인 정리의 증명이 실려있다.
  2. J Yeh. 《Real analysis. Theory of measure and integration》. 168쪽. 
  3. Erik Schechter. 〈21.38〉. 《Analysis and Its Foundations》. 
  4. Folland, Gerald B. 《Real Analysis - Modern Techniques and Their Applications》 (영어) 2 tion판. John Wiley& Sons, Inc. 26, 49, 50쪽. 

바깥 고리[편집]