비판정법

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비판정법 또는 비율판정법(比判定法, -率-, 영어: ratio test)은 급수수렴 여부를 판정하는 방법이다. 장 르 롱 달랑베르가 처음으로 출간하였다. 때로 달랑베르의 판정법, 코시의 비율판정법(영어: d'Alembert's test, d'Alembert's criterion, Cauchy ratio test)으로 불린다.[1]

내용[편집]

실수 또는 복소수 항의 급수 \textstyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n에 대하여, an ≠ 0 이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하고, 극한

L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, L\in[0,+\infty]

이 존재하는 경우,

  • L < 1 이면 급수 \textstyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n절대수렴한다.
  • L > 1 이면 급수 \textstyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n발산한다.
  • L = 1 이면 급수는 수렴할 수도, 발산할 수 도 있다.

상극한하극한을 사용하면 극한 L이 존재하지 않아도 수렴성을 판정할 수 있다. 또한, L = 1 인 일부 급수에게도 적용 가능하다. 자세히 말하면[2][3]

R=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
r=\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

이라 두었을 때,

  • R < 1 이면 급수 \textstyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n절대수렴한다.
  • r > 1 이면 급수 \textstyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n은 발산한다.
  • \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge 1이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하면, R, r의 값과 상관없이 급수는 발산한다. 이는 |an|이 영이 아닌 증가수열이여서 0으로 수렴하지 않기 때문이다.

극한 L이 존재할 때 L = R = r 이므로 뒤의 방법은 앞의 방법을 포함한다.

증명[편집]

r > 1 일 때, 충분히 큰 임의의 n에 대해 |an+1| > |an| 이어서 0으로 수렴하지 않는다. 고로 급수 \textstyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n는 발산한다. R > 1 일 때의 증명은 아래 두 가지 방법이 있다.

비교판정법에 의한 증명[편집]

R < 1 이면, R < q < 1인 q를 취했을 때, \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<q가 임의의 nm 에 대해 성립하는 자연수 m이 존재한다. 그러므로 임의의 nm 에 대해 |an| < qn-m|am| 이 성립한다. 우변이 기하급수로서 수렴하므로 비교판정법에 의해 급수 \textstyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n도 수렴한다.

근판정법에 의한 증명[편집]

부등식

r = \liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \le \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = R

을 증명하면 각각

R<1 \Rightarrow \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1
r>1 \Rightarrow \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}>1

이 성립하므로 근판정법에 의해 비판정법이 증명된다.

임의의 cR 을 취했을 때, 임의의 nm 에 대해 \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le c가 성립하는 자연수 m이 존재한다. 따라서

|a_n|\le c^{n-m}|a_m|,

\sqrt[n]{|a_n|} \le c\cdot\sqrt[n]{c^m|a_m|}

이 임의의 nm 에게 성립한다. 양변에 상극한을 취하면

\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \le c

이로써 앞서 말한 부등식의 두번째 부등호가 증명된다. 첫번째 부등호의 증명도 이와 비슷하다.

[편집]

수렴급수[편집]

양항급수

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}

L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}}=\frac12<1

이므로 수렴한다.

발산급수[편집]

양항급수

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n}

L=\lim_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^n}{n}}=2>1

이므로 발산한다.

판정 불가[편집]

아래 급수들은 L = 1 이라서 첫번째 방법으로는 수렴성을 단정지을 수 없다.

  • 발산급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}1
  • 절대수렴급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}
  • 조건수렴급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1n

그러나 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}1의 경우 두번째 방법의 셋째 항목으로 발산한다는 것을 알 수 있다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

참고 문헌[편집]