비판정법

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비판정법(比判定法, ratio test) 또는 비율판정법(比率判定法)은 궁극적으로 0이 아닌 , 복소급수수렴 여부를 항비의 극한을 통해 판정하는 방법이다. 장 르 롱 달랑베르가 처음으로 출간하였다. 달랑베르 판정법(d'Alembert's ratio test), 코시 비율판정법(Cauchy ratio test)으로도 불린다.[1]

내용[편집]

실수 또는 복소수 항의 급수 에 대하여, an ≠ 0 이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하고, 극한

이 존재하는 경우,

  • L < 1 이면 급수 절대수렴한다.
  • L > 1 이면 급수 발산한다.
  • L = 1 이면 급수는 수렴할 수도, 발산할 수 도 있다.

L이 존재하지 않는 경우 상극한하극한을 사용할 수도 있다. L = 1인 급수의 수렴성 판정을 위해 판정법을 확충할 수도 있다. 즉

이라 두었을 때,[2][3]

  • R < 1 이면 급수 절대수렴한다.
  • r > 1 이면 급수 은 발산한다.
  • 이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하면(따라서 R, r ≥ 1), r의 값과 상관없이 급수는 발산한다. 이는 |an|이 항상 양수이고 언젠가부터 증가수열이여서 0으로 수렴하지 않기 때문이다.

극한 L이 존재할 때 L = R = r이므로 뒤의 방법은 앞의 방법을 포함한다.

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수렴급수[편집]

양항급수

은 비판정법에 의해 수렴한다:

발산급수[편집]

양항급수

은 비판정법에 의해 발산한다:

판정 불가[편집]

아래 급수들은 각기 다른 수렴성을 지니며, L = 1이라서 첫 번째 방법으로는 수렴성을 단정짓지 못 한다.

  • 발산급수
  • 절대수렴급수
  • 조건수렴급수

그러나 의 경우 확충한 판정법의 세 번째 항목에 의해 발산한다는 것을 알 수 있다.

아래에 소개된 여러 판정법은 L = 1을 비롯한 비판정법이 소용없는 경우에 쓰일 수 있다.

증명[편집]

r > 1 일 때, 충분히 큰 임의의 n에 대해 |an+1| > |an| 이어서 0으로 수렴하지 않는다. 고로 급수 는 발산한다. 아래 둘은 R > 1 일 때의 증명이다.

R < 1 이면, R < q < 1인 q를 취했을 때, 가 임의의 nm에 대해 성립하는 자연수 m이 존재한다. 그러므로 임의의 nm에 대해 |an| < qn-m|am|이 성립한다. 우변이 기하급수로서 수렴하므로 비교판정법에 의해 급수 도 수렴한다.

근판정법과의 관계[편집]

비판정법은 근판정법보다 약한 판정법이다. 비판정법이 유효한 모든 급수는 근판정법을 이용해서도 판정 가능하다. 부등식

이 성립함에 따라

이 있기 때문이다.

다음은 세 번째 부등식의 증명[4]이다. 첫 번째 부등식의 증명은 비슷하고, 두 번째는 자명하다. 임의의 c > R을 취했을 때, 임의의 nm에 대해 가 성립하는 자연수 m이 존재한다. 따라서 |an| < cn-m|am|, 즉 이 임의의 nm에게 성립한다. 양변에 상극한을 취하면

을 얻어 세 번째 부등식이 증명된다.

라베 판정법[편집]

라베 판정법(Raabe's test, 요제프 루트비히 라베)은 다음과 같이 서술된다.

궁극적으로 0이 아닌 실 또는 복소 항의 급수 에 대해

라 하면, 급수는 r > 1일 때 절대수렴, R < 1일 때 발산한다.

증명[편집]

r > 1이면, 1 < p < q < r이게끔 p, q를 취했을 때, 어떤 자연수 m이 있어 모든 nm에 대해 다음이 성립한다.

r > 1 또한 임에 따른 것이다.

따라서 , 즉 가 성립하며, 비교판정법과 p-급수의 수렴에 의해 은 절대수렴한다.

R < 1이면, 어떤 자연수 m이 있어 모든 nm에 대해 이 성립한다. 따라서 이며, 비교판정법과 조화급수의 발산에 의해 은 발산한다.

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급수

의 발산성은 라베 판정법으로 보여진다:

비판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 판정할 수 없다.

베르트랑 판정법[편집]

베르트랑 판정법(Bertrand's test): 궁극적으로 0이 아닌 실 또는 복소 급수 에 대해,

라 하면, r > 1일 때 절대수렴, R < 1일 때 발산이다.

증명[편집]

r > 1이면, 1 < p < q < r이게끔 p, q를 취했을 때, 어떤 자연수 m이 있어 모든 nm에 대해 다음이 성립한다.

따라서 이며, 비교판정법과 의 수렴에 의해 급수는 절대수렴한다.

R < 1이면, 어떤 자연수 m이 존재하여 임의의 nm에 대해 이 성립한다. 비교판정법과 의 발산에 의해 급수는 발산한다.

쿠머 판정법[편집]

쿠머 판정법(Kummer's test, 에른스트 쿠머): 만약 에 대해, 수열 이 존재하여

  • 이 성립한다면, 양항급수는 수렴한다.
  • 이 발산하고 이 성립한다면, 양항급수는 발산한다.

증명[편집]

r > 0이면, 어떤 c가 존재하여, 충분히 큰 nm에 대해 , 즉

이 성립한다. 따라서 cnan은 0을 하계로 하고 단조감소하므로 수렴한다. 망원급수 은 이에 따라 수렴한다. 고로 양항급수가 수렴함을 비교판정법에 의해 알 수 있다.

R < 0이면, 충분히 큰 nm에 대해 cnan < cn + 1an + 1이 성립하며, 따라서

이 임의의 n > m에게 성립한다. 비교판정법과 이 발산한다는 조건에 의해 양항급수는 발산한다.

더 나아간 결론[편집]

쿠머 판정법의 전건과 후건은 사실 서로 동치이다. 즉,[5]

  • 양수항급수가 수렴할 필요충분조건은, r > 0이게끔 하는 cn > 0이 존재한다는 것이다.
  • 양수항급수가 발산할 필요충분조건은, 이 발산하고 R < 0이게끔 하는 cn > 0이 존재한다는 것이다.

다르게 표현하면, 쿠머의 양항급수에 대한 판정법은 이론적으론 만능이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

참고 문헌[편집]