변분법

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변분법(變分法, 영어: calculus variations)이란 미적분학의 한 분야로, 일반 미적분학과는 달리 범함수를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화 하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다.

정류값[편집]

변분법은 범함수의 극댓값, 극솟값를 연구하는데, 이를 합쳐서 정류값이라한다. 함수변수에 의존하듯이, 범함수는 함수에 의존하므로 흔히 함수의 함수로 설명한다. 범함수는 정의역의 원소인 에 대해 정류값을 갖는다. 범함수 가 함수 에서 정류값을 갖는다는 것은 의 미소근방에서 같은 부호를 갖는다는 것이다. 함수 은 ‘’정류‘’함수 또는 정류점이라 한다. 정류값 의 미소근방에서 이면 극댓값이라 하고 이면 극솟값이라 한다.

오일러-라그랑주 방정식[편집]

오일러-라그랑주 방정식은 함수 의 함수인 범함수 를 최소나 최대로 하는 함수 를 찾기 위한 것이다. 여기서

이다. 여기서:

  • 는 구하고자 하는 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족한다:
여기서 는 미분 가능한 함수고, 로 정해져 있다.
  • 를 미분한 함수이다.

오일러-라그랑주 방정식의 증명[편집]

1차원 오일러-라그랑주 방정식 유도는 수학에서 고전으로 꼽힌다. 이 증명의 근거는 변분법의 기본정리 이다.

함수 가, 경계값 조건 를 만족하고, 다음과 같이 주어지는 범함수 를 최대 또는 최소로 만든다고 하자.

여기서 가 연속적인 편미분값을 가진다고 가정한다. (가정을 더 약하게 잡을 수도 있으나, 그러면 증명이 더 복잡해진다.)

만일 가 상대 범함수를 최대, 최소로 한다고 하면, 에 매우 작은 변화를 가했을 때, 의 값이 늘거나(를 최소화할때) 의 값이 줄 수 있다.(를 최대화할때)

여기서 에 매우 작은 변화를 준 함수 를 도입하자. 여기서 를 만족하는 미분가능한 함수이다. 이제, 대신 를 넣은 는 다음과 같은 함수가 될 것이다.

이제 에 대해 미분한 전미분 을 구하면,

전미분의 정의에서 다음과 같은 식이 나오며,

그러므로

만약 이 되면 이고, 를 극값으로 만드는 부분이므로, , 일 것이다. 수식으로 쓰면,

좀 더 정리하기 위해, 두 번째 항에 부분적분을 한다. 그러면 다음과 같은 식을 얻는다.

에 대한 경계값 조건을 이용하면,

변분법의 기본정리 를 적용하면, 다음과 같은 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.

오일러-라그랑주 방정식의 응용[편집]

두 점을 지나는 가장 짧은 곡선[편집]

2차원 좌표평면상에 두 점 가 있다고 하자. 그렇다면 이 두 점을 연결하는 가장 짧은 곡선은 다음과 같은 범함수 를 최소로 만드는 곡선이다.

여기서 의 경우 두 점을 지나야 하므로 를 만족하는 함수이다.

위에서 증명한 오일러-라그랑주 방정식을 적용하게 되면, 함수

를 만족하여야 한다. 식을 조금 정리해보면,

평균값 정리에 의해 미분해서 0이되는 함수는 그 구간에선 상수함수이므로,

가 되고, 좌변의 분모를 양변에 곱한 후 양변을 제곱하여 정리하면 에 대한 이차방정식이므로 다음과 같은 해를 얻을 수 있다.

따라서 두 점 사이의 곡선중 길이가 최소인 곡선은 를 만족하는 직선이다.

페르마의 원리[편집]

페르마의 원리는 빛이 광로를 극소로 하는 경로를 따라 진행한다고 말한다. x좌표가 경로 의 매개변수일 때 광로는

으로 주어진다. 굴절률 는 매질에 따라 달라진다.

을 이용하면 A의 일계 변분(A의 ε에 대한 일계 도함수)는

이다. 첫째항에 대해 부분적분을 하면 오일러-라그랑주 공식을 얻게된다.

빛의 경로는 위 식을 적분함으로써 결정된다. 이 유도는 라그랑주 광학, 해밀턴 광학에 이용된다.

스넬의 법칙[편집]

빛이 렌즈를 들어가거나 나갈때 굴절률은 불연속이다.

이라 하자. (여기서 , 은 상수이다.) 오일러 라그랑주 공식은 x<0 또는 x>0인 구간에서 성립하며 굴절률이 상수이므로 경로는 일직선이 된다. x=0,에서 f가 연속이어야 하지만 f' 는 불연속일 수도 있다. 각 범위에서 오일러-라그랑주 방정식에서 부분적분을 하면 일계 변분은

이 된다.

에 곱해진 항은 입사각의 sine값이며 에 곱해진 항은 굴절각의 sine이다. 굴절의 스넬의 법칙은 이 두항이 같아야 한다는 것이다. 즉, 스넬의 법칙은 광로의 일계 변분이 사라지는 것과 동치이다.

작용 원리[편집]

고전역학에서 작용 S는 라그랑지안 L의 시간에 대한 적분으로 정의된다. 라그랑지안은 에너지의 차이이다.

T는 역학계의 운동에너지이고 U퍼텐셜 에너지이다. 해밀턴의 원리 (또는 작용 원리)는 보존계는 작용 적분

이 경로 x(t)에 대해 정류값을 갖도록 운동한다는 것이다. 이런 역학계의 오일러-라그랑주 방정식은 라그랑주 방정식이라 불린다.

이는 뉴턴의 운동 방정식과 동치이다.

운동량 P는 다음과 같이 정의된다.

예로

이면

해밀턴 역학대신 운동량이 도입되고, 라그랑지안 L이 다음과 같이 정의된 해밀토니안 H으로 대채될 때 유도된다.

해밀토니안은 계의 역학적 에너지이다 : H = T + U.

참고 문헌[편집]

관련 문서[편집]