면적분

미적분학에서 면적분(面積分, 영어: surface integral)은 3차원 유클리드 공간에 매장된 곡면 위에 정의된 함수에 대한 적분이다. 평면 위에 정의된 함수의 이중 적분을 일반화한 개념이다.

정의

스칼라 장의 면적분을 정의하려면 곡면을 작은 면적소들로 나누어야 한다.

스칼라 장의 경우

곡면의 면적소들의 면적이 한없이 작아질 때, 이에 대응하는 리만 합은 스칼라 장의 면적분에 한없이 가까워진다.

스칼라 장 $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$의 곡면 ${\vec {\varphi }}\colon D\to \mathbb {R} ^{3}$ ($D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$) 위의 면적분은 다음과 같다.

$\int _{{\vec {\varphi }}(D)}fdS=\int _{D}f({\vec {\varphi }}(s,t))\Vert {\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\Vert dsdt=\int _{D}f({\vec {\varphi }}(s,t)){\sqrt {EF-G^{2}}}dsdt$

여기서 $EF-G^{2}$는 제1 기본 형식의 행렬식이다.

특히, 곡면 ${\vec {\varphi }}(D)$의 면적은 다음과 같다.

$\int _{{\vec {\varphi }}(D)}dS=\int _{D}\Vert {\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\Vert dsdt=\int _{D}{\sqrt {EF-G^{2}}}dsdt$

벡터 장의 경우

곡면 위의 벡터 장

벡터 장 ${\vec {F}}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$의, 곡면 ${\vec {\varphi }}\colon D\to \mathbb {R} ^{3}$ ($D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$) 위의 면적분은 다음과 같다.

$\iint _{{\vec {\varphi }}(D)}{\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}=\iint _{{\vec {\varphi }}(D)}{\vec {F}}\cdot {\frac {{\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}}{\Vert {\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\Vert }}dS=\iint _{D}{\vec {F}}({\vec {\varphi }}(s,t))\cdot ({\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v})dsdt$

같이 보기

• 선속

외부 링크

• “Surface integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Surface Integral”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Surface integration with respect to area”. 《PlanetMath》 (영어).