근판정법

근판정법(根判定法, 영어: root test)은 무한급수의 수렴판정법으로, 다음 식을 이용해 수렴성을 판정한다.

\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}

여기서 $limsup$ 은 상극한, $a n$ 은 급수의 항이다.

이 판정법은 실수, 복소수, 더 나아가 노름 벡터 공간 위의 벡터를 항으로 하는 급수에 적용된다.

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 처음 고안하였다.

내용[편집]

급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 에 대하여,

C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}

의 값을 1과 비교하여 수렴성을 판단할 수 있다. 즉,

$C < 1$ 이면, 급수는 절대수렴한다.
$C > 1$ 이면, 급수는 발산한다.
$C = 1$ 이면, 수렴성을 단정짓지 못한다. 발산, 조건수렴, 절대수렴 모두 가능하다.

수열 $n \sqrt | a n |$ 의 극한이 존재한다면, $C$ 를 극한으로 대신할 수 있다.

증명[편집]

$C < 1$ 이면, 임의의 $n > m$ ( $m$ 은 어떤 자연수)에 대해 $| a n | 1 / n < r$ , 즉 $| a n | < r n$ 인 실수 $r < 1$ (예를 들어 $r = C + 1 / 2$ )이 존재한다. 따라서 기하급수의 수렴성과 비교판정법에 의해 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 은 절대수렴한다.

$C > 1$ 이면, 1보다 큰 무한 개의 $a n$ 이 존재한다. 따라서 $a n$ 은 0으로 수렴하지 않으며, $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 은 발산한다

$C = 1$ [편집]

근판정법은 $C = 1$ 일 경우 효력을 잃는다. 다음 급수들은 $C = 1$ 이며 각기 다른 수렴성을 가진다.

조화급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 는 무한대로 발산한다.
조화급수의 교대급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}$ 은 조건수렴한다.
디리클레 급수의 한 예인 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 은 절대수렴한다.
그란디 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$ 은 발산한다.

그러나 $C = 1$ 이어도 $n \sqrt | a n | > 1$ 이 충분히 큰 모든 $n$ 에 대해 성립하면 급수가 발산한다는 결론이 있다.

멱급수[편집]

근 판정법은 멱급수의 수렴반지름을 논할 때 유용하다. 멱급수

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}

(

z

는 복소변수,

c n

과

p

는 복소상수)

의 수렴역은 $p$ 를 중심으로 하며, 반지름은 다음과 같다.

{\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}

같이 보기[편집]

비판정법#근판정법과의 관계

참고 문헌[편집]

Knopp, Konrad (1956). 〈§ 3.2〉. 《Infinite Sequences and Series》 (영어). Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6.
Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). 〈§ 2.35〉. 《A Course in Modern Analysis》 (영어) four판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.