거듭제곱근

수학에서, 거듭제곱근은 거듭제곱의 역연산이다. 승근(乘根), 누승근(累乘根) 또는 멱근(冪根)이라고도 한다. 구체적으로, 만약 $x^{n}=a$ 이라면, $x$ 가 $a$ 의 $n$ 제곱근이라고 한다. $a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},\dots ,a^{n}\dots$ ( ${}=a$ 의 제곱, $a$ 의 세제곱, $a$ 의 네제곱, $a$ 의 다섯제곱, ..., $a$ 의 $n$ 제곱, ...)을 통틀어 $a$ 의 거듭제곱이라고 하는 것처럼, $a$ 의 제곱근, $a$ 의 세제곱근, $a$ 의 네제곱근, $a$ 의 다섯제곱근, ... $a$ 의 $n$ 제곱근, ...을 통틀어 $a$ 의 거듭제곱근이라고 한다.

정의

양의 정수 $n$ 이 주어졌다고 하자. 실수 또는 복소수 $a$ 의 $n$ 제곱근(영어: n-th root)은

x^{n}=a

인 실수 또는 복소수 $x$ 를 일컫는다. 여기서

x^{n}=\underbrace {x\times x\times \cdots \times x} _{n}

은 $x$ 의 $n$ 제곱이다.

실수의 거듭제곱근

임의의 실수 또는 복소수의 $n$ 제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 $n$ 개가 있으며, $a\neq 0$ 인 경우 이들은 서로 다르다. 실수 $a\in \mathbb {R}$ 의 경우, 그 가운데 하나

{\sqrt[{n}]{a}}\in \mathbb {R}

를 다음과 같이 고를 수 있다. 만약 $a=0$ 인 경우, 0의 $n$ 제곱근은 0으로 유일하다.

{\sqrt[{n}]{0}}=0

만약 $a\neq 0$ 이며, $n$ 이 홀수라면, $a$ 의 $n$ 제곱근 가운데 실수인 하나 ${\sqrt[{n}]{a}}\in \mathbb {R}$ 가 유일하게 존재한다. 구체적으로, 실수의 완비성을 사용하여, 특정 부분 집합의 상한 또는 하한으로 정의할 수 있다.

{\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{a}}&=\sup\{x\in \mathbb {R} \colon x^{n}<a\}\\&=\inf\{x\in \mathbb {R} \colon x^{n}>a\}\end{aligned}}

만약 $a>0$ 이며, $n$ 이 짝수라면, $a$ 의 $n$ 제곱근 가운데 실수인 것은 둘이 존재하며, 서로 덧셈 역원이다. 이 가운데 양의 실수인 하나를 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 로 정의하자. 그렇다면 나머지 하나는 $-{\sqrt[{n}]{a}}$ 이다. ${\sqrt[{n}]{a}}$ 의 구체적인 표현은 다음과 같다.

{\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{a}}&=\sup\{x\in \mathbb {R} ^{+}\colon x^{n}<a\}\\&=\inf\{x\in \mathbb {R} ^{+}\colon x^{n}>a\}\end{aligned}}

만약 $a<0$ 이며, $n$ 이 짝수라면, $a$ 의 $n$ 개의 $n$ 제곱근은 모두 실수가 아니다. $a$ 는 실수이므로, 복소수이다. 따라서, 복소수의 특별한 $n$ 제곱근을 고르는 방법을 사용한다.

복소수의 거듭제곱근

복소수 $a\in \mathbb {C}$ 의 $n$ 제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 총 $n$ 개가 있으며, $a\neq 0$ 인 경우 이들은 서로 다르다. 이 가운데 하나가

{\sqrt[{n}]{a}}\in \mathbb {C}

라면, $n$ 개의 거듭제곱근들은 다음과 같다.

{\sqrt[{n}]{a}}\mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} /n}\qquad (k=0,1,\dots ,n-1)

특별한 거듭제곱근 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 를 고르는 방법은 유일하지 않다. 0이 아닌 복소수 $a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ 를 그 절댓값 $|a|$ 과 편각 $\arg a$ 를 사용하여

a=|a|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg a}

로 나타내자. 절댓값 $|a|$ 은 음이 아닌 실수이므로, 그 표준적인 실수 거듭제곱근 ${\sqrt[{n}]{|a|}}$ 를 고를 수 있다. 이 경우, $a$ 의 모든 $n$ 제곱근은 다음과 같다.

{\sqrt[{n}]{|a|}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\arg a+2k\pi )/n}\qquad (k=0,1,\dots ,n-1)

또한, $a$ 의 표준적인 거듭제곱근을 다음과 같이 고를 수 있다.

{\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{n}]{|a|}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg a/n}

얼핏 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 를 고르는 방법을 유일하게 결정한 것처럼 보이지만, 편각의 선택은 유일하지 않으므로 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 를 고르는 방법은 유일하지 않다. 예를 들어, 편각

\arg a\in (-\pi ,\pi ]

에 대한 거듭제곱근과

\arg a\in [0,2\pi )

에 대한 거듭제곱근은 일반적으로 다르다.

용어와 표기법

작은 $n$ 에 대한 거듭제곱근은 다음과 같다.

만약 $n=2$ 인 경우, $a$ 의 $n$ 제곱근을 $a$ 의 제곱근이라고 하며, ${\sqrt[{2}]{a}}$ 대신 ${\sqrt {a}}$ 라고 쓴다.
만약 $n=3$ 인 경우, $a$ 의 $n$ 제곱근을 $a$ 의 세제곱근 ${\sqrt[{3}]{a}}$ 이라고 한다.
만약 $n=4$ 인 경우, $a$ 의 $n$ 제곱근을 $a$ 의 네제곱근(영어: fourth root) ${\sqrt[{3}]{a}}$ 이라고 한다.
만약 $n=5$ 인 경우, $a$ 의 $n$ 제곱근을 $a$ 의 다섯제곱근(영어: fifth root) ${\sqrt[{3}]{a}}$ 이라고 한다.

거듭제곱근 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 은 거듭제곱을 사용하여

a^{1/n}

이라고 쓸 수 있다.

성질

음이 아닌 실수의 거듭제곱근의 경우, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

{\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad (b\neq 0)

그러나, 이는 음의 실수나 복소수의 거듭제곱근에서 성립하지 않는다. 예를 들어,

{\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1

이지만,

{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=-1

이다.

갈루아 군

체 $K$ 가 주어졌다고 하자. 양의 홀수 $n$ 이 주어졌고, $\operatorname {char} K\nmid n$ 이며, $\zeta _{n}$ 이 1의 원시 $n$ 제곱근이라고 하자. 또한, 체의 원소 $a\in K$ 가 주어졌으며, 임의의 소수 $p\mid n$ 에 대하여 $K$ 가 $a$ 의 $p$ 제곱근을 포함하지 않는다고 하자. 그렇다면, $a$ 의 $n$ 제곱근들을 근으로 하는 다항식 $x^{n}-a\in K[x]$ 의 분해체 $K({\sqrt[{n}]{a}},\zeta _{n})$ 의 갈루아 군은 다음과 같다.^[1]^{:300, Theorem 9.4}