바닥 함수와 천장 함수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(바닥 함수에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

아래는 바닥 함수와 천장 함수에 대한 설명이다.

연혁[편집]

1808년에 카를 프리드리히 가우스이차 상호 법칙의 세 번째 증명에서 기호 를 사용하여 바닥 함수를 정의하였다.[1] 이 기호는 1962년에 케네스 아이버슨이 《프로그래밍 언어》(A Programming Language)라는 책에서 바닥 함수와 천장 함수라는 용어를 정의하고 기호로 각각 로 나타낼 때까지 표준 형태였다.[2][3] 지금은 두 사람의 기호가 모두 쓰이고 있다.

바닥 함수[편집]

바닥 함수의 그래프

수학에서 실수 바닥 함수(floor function)는 보다 작거나 같으면서 가장 큰 정수로 정의되며, 또는 라고 쓴다. 버림 함수, 가우스 함수라고도 한다. 예를 들어서 floor(2.9) = 2, floor(-2.3) = -3이며, 음수가 아닌 에 대해서 버림과 바닥 함수는 같은 역할을 한다.

수학적으로 표기하면 바닥 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

성질[편집]

  • 임의의 실수 에 대해 이 성립한다. 특히 가 정수일 때 등호가 성립하며, 그 역도 참이다.
  • 바닥 함수는 멱등 함수이다. 즉 이다.
  • 임의의 정수 와 실수 에 대해 이다.
  • 반올림한 값은 로 나타낼 수 있다.
  • 정수가 아닌 임의의 실수 에 대해 바닥 함수의 푸리에 전개가 다음과 같이 존재한다.
  • 서로소인 양수이면, 가 성립한다.

천장 함수[편집]

천장 함수의 그래프

바닥 함수와 연관된 다른 함수로 천장 함수(ceiling function)가 있다. 실수 에 대해, 천장 함수 또는 보다 크거나 같으면서 가장 작은 정수이다. 예를 들어 ceiling(2.3) = 3, ceiling(-2.3) = -2이다.

수학적으로 천장 함수는 다음과 같이 정의된다.

임의의 실수 에 대해 다음이 성립한다.

  • 천장 함수와 바닥 함수는 서로 바꿔 쓸 수 있다. 즉 이다.
  • 바닥 함수와 비슷하게, 이 성립한다.
  • 임의의 정수 에 대해 이다.

각주[편집]

  1. Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, pp. 10, 23., ISBN 3-540-66957-4
  2. Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley, p. 12.
  3. Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM, p. 25., ISBN 0-89871-420-6