바닥 함수와 천장 함수

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수학컴퓨터 과학에서 바닥 함수(floor function)와 천장 함수(ceiling function)는 실수를 각각 작거나 같으면서 가장 크거나, 또는 크거나 같으면서 가장 작은 정수에 대응하는 함수이다. 내림 함수(또는 버림 함수)와 올림 함수라고도 부르기도 한다.

연혁[편집]

1808년에 카를 프리드리히 가우스이차 상호 법칙의 세 번째 증명에서 기호 를 사용하여 바닥 함수를 정의하였다.[1] 이 기호는 1962년에 케네스 아이버슨이 《프로그래밍 언어》(A Programming Language)라는 책에서 바닥 함수와 천장 함수라는 용어를 정의하고 기호로 각각 로 나타낼 때까지 표준 형태였다.[2][3] 지금은 두 사람의 기호가 모두 쓰이고 있다.

바닥 함수[편집]

바닥 함수의 그래프

수학에서 실수 바닥(내림) 함수보다 작거나 같으면서 가장 큰 정수로 정의되며, 또는 라고 쓴다. 버림 함수, 가우스 함수라고도 한다. 예를 들어서 floor(2.9) = 2, floor(-2.3) = -3이며, 음수가 아닌 에 대해서 버림과 바닥 함수는 같은 역할을 한다.

수학적으로 표기하면 바닥 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

성질[편집]

  • 임의의 실수 에 대해 이 성립한다. 특히 가 정수일 때 등호가 성립하며, 그 역도 참이다.
  • 바닥 함수는 멱등 함수이다. 즉 이다.
  • 임의의 정수 와 실수 에 대해 이다.
  • 반올림한 값은 로 나타낼 수 있다.
  • 정수가 아닌 임의의 실수 에 대해 바닥 함수의 푸리에 전개가 다음과 같이 존재한다.
  • 서로소인 양수이면, 가 성립한다.

천장 함수[편집]

천장 함수의 그래프

바닥 함수와 연관된 다른 함수로 천장(올림) 함수(ceiling function)가 있다. 실수 에 대해, 천장 함수 또는 보다 크거나 같으면서 가장 작은 정수이다. 예를 들어 ceiling(2.3) = 3, ceiling(-2.3) = -2이다.

수학적으로 천장 함수는 다음과 같이 정의된다.

임의의 실수 에 대해 다음이 성립한다.

  • 천장 함수와 바닥 함수는 서로 바꿔 쓸 수 있다. 즉 이다.
  • 바닥 함수와 비슷하게, 이 성립한다.
  • 임의의 정수 에 대해 이다.

각주[편집]

  1. Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, pp. 10, 23., ISBN 3-540-66957-4
  2. Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley, p. 12.
  3. Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM, p. 25., ISBN 0-89871-420-6