바닥 함수와 천장 함수

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수학컴퓨터 과학에서, 바닥 함수(영어: floor function)는 각 실수 이하의 최대 정수를 구하는 함수이다. 천장 함수(天障函數, 영어: ceiling function)는 각 실수 이상의 최소 정수를 구하는 함수이다. 바닥 함수는 내림 함수 · 버림 함수 · 최대 정수 함수(最大整數函數, 영어: greatest integer function)라고도 하며, 천장 함수는 올림 함수 · 최소 정수 함수(最小整數函數, 영어: least integer function)라고도 한다.

정의[편집]

바닥 함수의 그래프
천장 함수의 그래프

바닥 함수[편집]

바닥 함수 는 다음과 같다.

즉, 실수 의 바닥 함수 값은 와 같거나 그보다 작은 정수 가운데 가장 큰 하나이다. 예를 들어, 다음과 같다.

바닥 함수의 여러 가지 표기법은 다음과 같다.

  • . 이를 가우스 기호라고 한다.

천장 함수[편집]

마찬가지로, 천장 함수 는 다음과 같다.

즉, 실수 의 천장 함수 값은 와 같거나 그보다 큰 정수 가운데 가장 작은 하나이다. 예를 들어, 다음과 같다.

천장 함수의 여러 가지 표기법은 다음과 같다.

분수 부분 함수[편집]

분수 부분 함수(分數部分函數, 영어: fractional part function) 는 다음과 같다.

예를 들어, 다음과 같다.

분수 부분 함수의 여러 가지 표기법은 다음과 같다.

성질[편집]

부등식[편집]

다음과 같은 부등식들이 성립한다.

비슷하게, 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

삼각 부등식과 닮은 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

바닥 함수와 천장 함수를 통해 실수 부등식과 동치인 정수 부등식을 얻을 수 있다. 즉, 임의의 에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

마찬가지로, 에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

마찬가지로, 에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

마찬가지로, 에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

항등식[편집]

천장 함수를 다음과 같이 바닥 함수를 써서 나타낼 수 있다.

비슷하게, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

임의의 정수는 바닥 함수와 천장 함수의 고정점이다.

바닥 함수와 천장 함수의 정의에 따라, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

바닥 함수와 천장 함수와 분수 부분 함수의 합성은 다음과 같다. 특히, 바닥 함수와 천장 함수와 분수 부분 함수는 모두 멱등 함수이다.

임의의 에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 특히, 분수 부분 함수는 양의 최소 주기가 1인 주기 함수이다.

임의의 () 및 에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

임의의 에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

합 공식[편집]

임의의 에 대하여, 다음과 같은 합 공식이 성립한다. 이를 에르미트 항등식이라고 한다.

특히, ()인 경우 다음과 같다.

특히, 인 경우 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.

임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 이러한 합 공식은 의 순서와 무관하다. 특히, 인 경우 합이 다음과 같이 주어진다.

특히, 서로소인 경우 (즉, 인 경우) 다음과 같다.

푸리에 급수[편집]

분수 부분 함수는 1-주기 함수이며, 그 푸리에 급수는 다음과 같다.

바닥 함수와 천장 함수는 주기 함수가 아니므로, 이들의 푸리에 급수는 균등 수렴하지 않는다. 바닥 함수와 천장 함수는 조각마다 일차 함수이며, 분수 부분 함수는 조각마다 상수 함수이다. 이 셋의 불연속점 집합은 모두 정수 집합이다.

응용[편집]

정수 부분·분수 부분[편집]

실수 의 정수 부분은 이며, 분수 부분은 이다. 예를 들어, 다음과 같다.

컴퓨터 과학에서는 정수 부분과 소수 부분을 조금 다르게 정의하기도 한다. 예를 들어, 다음과 같은 변형된 정수 부분 함수와 분수 부분 함수가 쓰인다.

내림·올림[편집]

실수 를 정수로 내림한 값은 이며, 정수로 올림한 값은 이다. 컴퓨터 과학에서는 변형된 내림·올림이 쓰이기도 한다. 즉, 실수 를 정수로 내림(올림)한 값을 로 정의한다.

반올림[편집]

실수 를 정수로 반올림한 값은 이다. 예를 들어, 다음과 같다.

컴퓨터 과학에서는 반올림의 여러 가지 변형이 사용되는데, 이들은 반정수의 경우를 달리 정의하며, 그 밖의 경우는 원래의 반올림과 일치한다. 원래의 반올림은 반정수를 비교적 큰 정수로 근사한다. 반정수를 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은 이며, 반정수를 절댓값이 비교적 큰 정수로 근사하는 반올림은 이며, 반정수를 절댓값이 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은 이다. 또한, 최근 정수 함수(最近整數函數, 영어: nearest integer function)라고 불리는 다음과 같은 함수는 반정수를 짝수로 근사하는 반올림 함수이다.

나머지 있는 나눗셈[편집]

두 정수 ()의 나머지 있는 나눗셈의 결과를 바닥 함수를 통해 나타낼 수 있다. 즉, 몫은

이며, 나머지는

이다.

자릿수[편집]

진법에서 정수 자릿수

이다.

계승의 소인수 분해[편집]

양의 정수 소수 에 대하여, 인 최대

이다. 이를 르장드르 공식이라고 한다.

역사[편집]

1808년에 카를 프리드리히 가우스이차 상호 법칙의 세 번째 증명에서 기호 를 사용하여 바닥 함수를 정의하였다.[1] 이 기호는 1962년에 케네스 아이버슨이 《프로그래밍 언어》(A Programming Language)라는 책에서 바닥 함수와 천장 함수라는 용어를 정의하고 기호로 각각 로 나타낼 때까지 표준 형태였다.[2][3] 지금은 두 사람의 기호가 모두 쓰이고 있다.

각주[편집]

  1. Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, pp. 10, 23., ISBN 3-540-66957-4
  2. Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley, p. 12.
  3. Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM, p. 25., ISBN 0-89871-420-6

외부 링크[편집]